Lineares Gleichungssystem Rechner
Gib die sechs Koeffizienten zweier linearer Gleichungen ein und erhalte das eindeutige x und y, in dem sich die Geraden treffen — sofort gelöst mit der cramerschen Regel.
x und y auf einmal
Gib a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ und c₂ der beiden Gleichungen ein und der Rechner liefert die eindeutige Lösung (x, y) samt Determinante D.
Standardform
Bringe jede Gleichung in die Form a·x + b·y = c, bevor du startest, damit jeder Koeffizient im richtigen Feld landet.
Was ist ein lineares 2×2-Gleichungssystem?
Zwei Geraden, ein Schnittpunkt
Ein Lineares-Gleichungssystem-Rechner findet das Wertepaar (x, y), das zwei lineare Gleichungen zugleich erfüllt. Jede Gleichung, geschrieben als a·x + b·y = c, ist eine Gerade im Diagramm, und das System zu lösen bedeutet, den einzigen Punkt zu finden, in dem sich diese beiden Geraden schneiden. Dieses Werkzeug nimmt die sechs Koeffizienten — a₁, b₁, c₁ aus der ersten Gleichung und a₂, b₂, c₂ aus der zweiten — und wendet die cramersche Regel an, um x und y exakt zu liefern, samt der Determinante, die entscheidet, ob es überhaupt eine eindeutige Lösung gibt.
Gib die sechs Koeffizienten ein und lies das eindeutige x und y ab, in dem sich die beiden Geraden schneiden — ganz ohne Rechnen von Hand.
Die cramersche Regel drückt jede Unbekannte als Verhältnis von Determinanten aus. Berechne zuerst die Koeffizientendeterminante D und teile dann zwei weitere Determinanten durch sie.
D = a₁b₂ − a₂b₁, x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/DNimm das Beispiel oben: Die Gleichungen lauten 2x + y = 5 und x − y = 1. Die Determinante ist D = 2·(−1) − 1·1 = −3, also nicht null, sodass eine eindeutige Lösung existiert. Dann ist x = (5·(−1) − 1·1) / −3 = (−6)/−3 = 2 und y = (2·1 − 1·5) / −3 = (−3)/−3 = 1. Das Einsetzen bestätigt es: 2·2 + 1 = 5 und 2 − 1 = 1, also ist (x, y) = (2, 1) richtig.
Die cramersche Regel ist exakt, doch ein paar Punkte solltest du im Blick behalten.
Keine eindeutige Lösung, wenn D = 0
Ist die Determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ gleich null, sind die beiden Geraden parallel (keine Lösung) oder identisch (unendlich viele Lösungen), und es gibt kein einzelnes (x, y) — der Rechner liefert dann kein Ergebnis. Stelle sicher, dass jede Gleichung in der Standardform a·x + b·y = c vorliegt, bevor du die Koeffizienten eingibst, und denke daran, dass jeder Koeffizient durchaus negativ oder null sein darf; nur eine Determinante von null verhindert eine eindeutige Lösung.