Quadratische Gleichungen Rechner
Gib die Koeffizienten a, b und c ein und erhalte beide reellen Lösungen von ax² + bx + c = 0 — samt der Diskriminante, die verrät, ob die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.
Lösungen und Diskriminante auf einmal
Gib a, b und c ein und der Rechner liefert beide Lösungen von ax² + bx + c = 0 zusammen mit der Diskriminante b² − 4ac, die sie einordnet.
a darf nicht null sein
Der Leitkoeffizient a muss ungleich null sein — sonst ist die Gleichung linear und nicht quadratisch, und die Formel gilt nicht.
Was ist die quadratische Lösungsformel?
Eine Formel für jede quadratische Gleichung
Die quadratische Lösungsformel löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, bei der a, b und c Zahlen sind und a nicht null ist. Sie liefert die Werte von x, die den Ausdruck null werden lassen — die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Der Rechner macht aus den drei Koeffizienten beide Lösungen und die Diskriminante, die Größe b² − 4ac unter der Wurzel. Weil die Formel für jede quadratische Gleichung funktioniert, gelingt sie dort, wo das Faktorisieren scheitert: unschöne Dezimalzahlen, große Zahlen und Gleichungen ohne saubere Faktoren löst sie sofort.
Gib a, b und c ein, um beide reellen Lösungen von ax² + bx + c = 0 und die Diskriminante zu erhalten, die dir verrät, wie viele es sind.
Die Lösungen stammen aus der quadratischen Lösungsformel, und die Diskriminante ist der Teil unter der Wurzel, der entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2aBerechne zuerst die Diskriminante D = b² − 4ac. Ist D positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist D null, fallen die beiden Lösungen zu einem doppelten Wert zusammen; ist D negativ, hat die Wurzel keinen reellen Wert und es gibt keine reellen Lösungen. Das Plus und das Minus in der Formel liefern Lösung x₁ und Lösung x₂.
Angenommen, du möchtest x² − 5x + 6 = 0 lösen, also a = 1, b = −5 und c = 6.
Diskriminante berechnen
D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 — positiv, also sind zwei reelle Lösungen zu erwarten.
Wurzel ziehen
√1 = 1, und −b = 5, mit dem Nenner 2a = 2.
Beide Vorzeichen anwenden
x₁ = (5 + 1) ÷ 2 = 3 und x₂ = (5 − 1) ÷ 2 = 2. Die beiden Lösungen sind x = 2 und x = 3.
Der Rechner gibt dir drei Zahlen zurück, und jede beantwortet eine andere Frage. Die Diskriminante steht zuerst, weil ihr Vorzeichen die Bühne bereitet: Eine positive Diskriminante (1 im Beispiel oben) bedeutet, dass die Parabel die x-Achse zweimal schneidet, du also zwei verschiedene reelle Lösungen erhältst; eine Diskriminante von genau null bedeutet, dass die Parabel die Achse nur berührt und es eine einzige doppelte Lösung gibt, bei der x₁ und x₂ gleich sind; und eine negative Diskriminante bedeutet, dass die Parabel die Achse nie erreicht, sodass es gar keine reellen Lösungen gibt. Die beiden Lösungen x₁ und x₂ sind schlicht die x-Werte, bei denen ax² + bx + c null wird — lies sie als die Lösungen deiner Gleichung. Für x² − 5x + 6 = 0 sind die Lösungen 2 und 3, was du durch Einsetzen prüfen kannst. Beachte: Dieses Werkzeug gibt nur reelle Lösungen aus. Ist die Diskriminante negativ, sind die echten Lösungen ein Paar komplex konjugierter Zahlen, und der Rechner meldet keine reellen Lösungen, statt einen Näherungswert zu liefern.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Nur reelle Lösungen und a ungleich null
Dieser Rechner gibt nur reelle Lösungen aus. Ist die Diskriminante negativ, hat die Gleichung zwei komplexe Lösungen, die das Werkzeug als keine reellen Lösungen meldet, statt sie anzuzeigen. Der Leitkoeffizient a darf nicht null sein — eine Null macht die Gleichung linear (bx + c = 0) und nicht quadratisch, und die Formel gilt dann nicht mehr. Gib jeden Koeffizienten mit dem richtigen Vorzeichen ein, denn ein falsch gesetztes Minus verändert die Lösungen vollständig.