Geometrische Folge Rechner
Gib das erste Glied, den Quotienten und die gewünschte Anzahl der Glieder ein — du erhältst sofort das n-te Glied aₙ und die Summe der ersten n Glieder.
Glied und Summe auf einmal
Gib a, r und n ein und der Rechner liefert sowohl das n-te Glied aₙ = a·r^(n − 1) als auch die laufende Summe Sₙ der ersten n Glieder.
n ist eine ganze Anzahl
Die Anzahl der Glieder n muss eine ganze Zahl von mindestens 1 sein — ein nulltes oder gebrochenes Glied gibt es in einer Folge nicht.
Was ist eine geometrische Folge?
Eine Liste mit konstantem Quotienten
Eine geometrische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied durch Multiplizieren des vorherigen mit einem festen Faktor — dem Quotienten r — entsteht: a, ar, ar², … Weil das Verhältnis sich nie ändert, ist die ganze Folge schon durch zwei Zahlen festgelegt, das erste Glied a und den Quotienten r. Dieser Rechner macht aus diesen beiden Werten und einer Anzahl n das n-te Glied aₙ und die Summe Sₙ der ersten n Glieder, ohne dass du die Liste von Hand ausschreiben musst.
Gib das erste Glied, den Quotienten und n ein, um das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder zu erhalten.
Das n-te Glied entsteht, indem du das erste Glied mit dem Quotienten r hoch n − 1 multiplizierst, und die Summe folgt aus einer kompakten geschlossenen Formel.
aₙ = a × r^(n − 1) und Sₙ = a × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r)Bestimme zuerst das n-te Glied, indem du a mit n − 1 Kopien von r multiplizierst. Die Summe folgt dann aus Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), solange r nicht 1 ist; bei r = 1 ist jedes Glied gleich a, sodass die Summe zu a·n wird. Ein Quotient mit |r| > 1 lässt die Glieder wachsen, |r| < 1 schrumpfen sie gegen null, und ein negatives r kehrt bei jedem Schritt das Vorzeichen um.
Angenommen, die Folge beginnt bei a = 2 mit dem Quotienten r = 3, und du möchtest das 5. Glied und die Summe der ersten 5 Glieder.
n-tes Glied bestimmen
a₅ = 2 × 3^(5 − 1) = 2 × 81 = 162. Das 5. Glied ist 162.
Summe aufstellen
S₅ = 2 × (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) = 2 × (1 − 243) ÷ (−2) = 2 × (−242) ÷ (−2).
Summe berechnen
S₅ = 2 × 121 = 242. Die ersten fünf Glieder summieren sich zu 242.
Der Rechner gibt dir zwei Zahlen zurück, und jede beantwortet eine andere Frage. Das n-te Glied aₙ nennt dir den einzelnen Wert an Position n — für 2, 6, 18, … ist das fünfte Glied 162, die Zahl, auf der du nach vier Multiplikationen mit drei landest. Die Summe Sₙ nennt dir, was alle Glieder vom ersten bis zum n-ten zusammen ergeben: 242 für eben diese fünf Glieder. Der Quotient r färbt beide Ausgaben. Ist |r| größer als 1, wachsen die Glieder und die laufende Summe immer schneller — genau das geometrische Wachstum hinter Zinseszins und Populationsmodellen. Ist |r| kleiner als 1, schrumpfen die Glieder gegen null und die Summe nähert sich einem endlichen Grenzwert. Ein negativer Quotient kehrt das Vorzeichen jedes Glieds um, sodass die Folge hin- und herschwingt — und die Summe sich teilweise aufhebt. Größe und Vorzeichen von r verraten dir auf einen Blick, ob deine Folge explodiert, verblasst oder schwingt.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
n muss eine ganze Zahl von mindestens 1 sein
Die Anzahl der Glieder n zählt Positionen in der Liste, sie muss also eine ganze Zahl von 1 oder mehr sein — der Rechner gibt für ein gebrochenes oder null n kein Ergebnis aus. Das erste Glied und der Quotient dürfen dagegen beliebige Zahlen sein, positiv oder negativ. Dieses Werkzeug behandelt nur geometrische Folgen, bei denen jedes Glied mit einem festen Quotienten multipliziert wird; Folgen, die in jedem Schritt einen festen Betrag addieren, sind arithmetisch und brauchen eine andere Formel.