Arithmetische Folge Rechner
Gib das erste Glied, die Differenz und die gewünschte Anzahl der Glieder ein — du erhältst sofort das n-te Glied aₙ und die Summe der ersten n Glieder.
Glied und Summe auf einmal
Gib a, d und n ein und der Rechner liefert sowohl das n-te Glied aₙ = a + (n − 1)·d als auch die laufende Summe Sₙ der ersten n Glieder.
n ist eine ganze Anzahl
Die Anzahl der Glieder n muss eine ganze Zahl von mindestens 1 sein — ein nulltes oder gebrochenes Glied gibt es in einer Folge nicht.
Was ist eine arithmetische Folge?
Eine Liste mit konstantem Schritt
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied durch Addieren eines festen Betrags — der Differenz d — zum vorherigen entsteht: a, a+d, a+2d, … Weil der Schritt sich nie ändert, ist die ganze Folge schon durch zwei Zahlen festgelegt, das erste Glied a und die Differenz d. Dieser Rechner macht aus diesen beiden Werten und einer Anzahl n das n-te Glied aₙ und die Summe Sₙ der ersten n Glieder, ohne dass du die Liste von Hand ausschreiben musst.
Gib das erste Glied, die Differenz und n ein, um das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder zu erhalten.
Das n-te Glied entsteht, indem du n − 1 Schritte der Größe d vom ersten Glied aus gehst, und die Summe ist die Anzahl der Glieder mal dem Mittelwert aus erstem und letztem Glied.
aₙ = a + (n − 1) × d und Sₙ = n ÷ 2 × (2a + (n − 1) × d)Bestimme zuerst das n-te Glied, indem du n − 1 Kopien von d zu a addierst. Die Summe folgt dann aus Sₙ = n/2·(2a + (n − 1)·d), also einfach n mal dem Mittelwert aus erstem Glied a und letztem Glied aₙ. Ein positives d lässt die Folge wachsen, ein negatives d schrumpfen, und d = 0 hält jedes Glied gleich a.
Angenommen, die Folge beginnt bei a = 2 mit der Differenz d = 3, und du möchtest das 10. Glied und die Summe der ersten 10 Glieder.
n-tes Glied bestimmen
a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = 29. Das 10. Glied ist 29.
Summe aufstellen
S₁₀ = 10 ÷ 2 × (2 × 2 + 9 × 3) = 5 × (4 + 27) = 5 × 31.
Summe berechnen
S₁₀ = 5 × 31 = 155. Die ersten zehn Glieder summieren sich zu 155.
Der Rechner gibt dir zwei Zahlen zurück, und jede beantwortet eine andere Frage. Das n-te Glied aₙ nennt dir den einzelnen Wert an Position n — für 2, 5, 8, … ist das zehnte Glied 29, die Zahl, auf der du nach neun Schritten von drei landest. Die Summe Sₙ nennt dir, was alle Glieder vom ersten bis zum n-ten zusammen ergeben: 155 für eben diese zehn Glieder. Eine nützliche Lesart der Summe ist die Anzahl der Glieder mal dem Mittelwert aus erstem und letztem Glied, denn eine arithmetische Folge ist perfekt um ihre Mitte ausbalanciert. Das Vorzeichen der Differenz färbt beide Ausgaben: Ein positives d bedeutet, dass die Glieder und die laufende Summe steigen, ein negatives d bedeutet, dass sie fallen, und d = 0 bedeutet, dass jedes Glied gleich dem ersten ist, sodass die Summe schlicht n mal diesem Wert ist.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
n muss eine ganze Zahl von mindestens 1 sein
Die Anzahl der Glieder n zählt Positionen in der Liste, sie muss also eine ganze Zahl von 1 oder mehr sein — der Rechner gibt für ein gebrochenes oder null n kein Ergebnis aus. Das erste Glied und die Differenz dürfen dagegen beliebige Zahlen sein, positiv oder negativ. Dieses Werkzeug behandelt nur arithmetische Folgen, bei denen in jedem Schritt ein fester Betrag addiert wird; Folgen, die mit einem konstanten Faktor multiplizieren, sind geometrisch und brauchen eine andere Formel.