Kugelsegment-Volumen Rechner
Aus zwei Grundradien und einer Höhe erhältst du das Volumen einer Kugelschicht — der Scheibe einer Kugel zwischen zwei parallelen Schnittebenen.
Drei Eingaben, eine Antwort
Gib den unteren Grundradius, den oberen Grundradius und die Höhe zwischen den Ebenen ein und der Rechner liefert das Volumen des Segments, (πh/6)(3a²
- 3b² + h²).
Einheiten gleich halten
Die beiden Radien und die Höhe sind einheitenunabhängig — dein Volumen kommt in Kubikeinheiten der verwendeten Längeneinheit zurück, mische also nicht Zentimeter mit Zoll.
Was ist ein Kugelsegment-Volumen-Rechner?
Zwei Radien und eine Höhe rein, Volumen der Schicht raus
Ein Kugelsegment — auch Kugelschicht genannt — ist der Teil einer Kugel zwischen zwei parallelen Ebenen, wie ein waagerechtes Band, das aus einem Ball geschnitten wird. Es hat zwei flache Kreisflächen: eine untere mit Radius a und eine obere mit Radius b, getrennt durch eine Höhe h. Das unterscheidet es von einer Kugelkappe, die nur eine flache Fläche hat, weil ihr zweiter Schnitt durch den höchsten Punkt der Kugel geht (sodass der obere Radius auf null schrumpft). Dieser Rechner macht aus den beiden Grundradien und der Höhe das Volumen dieser Schicht — praktisch für Füllstände von Tanks, Kuppel- und Schalenabschnitte, Linsen- und Kugelschnitt-Aufgaben und Geometrieaufgaben. Der eine Wert steht fest, sobald du a, b und h kennst — diese drei Eingaben reichen.
Gib die beiden Grundradien und die Höhe in einer beliebigen Längeneinheit ein, um das Volumen des Kugelsegments sofort zu erhalten.
Eine kompakte Formel, gebildet aus den beiden Grundradien, der Höhe und der Konstante π (etwa 3,14159).
Volumen = (π × h / 6) × (3 × a² + 3 × b² + h²)Der Term in der Klammer, 3a² + 3b² + h², verbindet die beiden End-Kreisradien mit der Dicke des Segments. Die Multiplikation mit π × h / 6 macht daraus das Volumen der gekrümmten Scheibe. Schrumpft der obere Radius b auf null, geht die Formel in das Volumen der Kugelkappe über — das Segment wird zu einer Kappe mit nur einer flachen Fläche.
Angenommen, du hast ein Kugelsegment mit einem unteren Grundradius von 4, einem oberen Grundradius von 3 und einer Höhe von 2.
Radien und Höhe quadrieren
a² = 16, b² = 9, h² = 4.
Klammer aufbauen
3 × 16 + 3 × 9 + 4 = 48 + 27 + 4 = 79.
Mit π × h / 6 multiplizieren
(π × 2 / 6) × 79 ≈ 82,728607 Kubikeinheiten — das Volumen der Schicht.
Das Ergebnis (etwa 82,728607 Kubikeinheiten bei a = 4, b = 3, h = 2) ist das tatsächliche Volumen an Material — oder Flüssigkeit — in diesem waagerechten Band der Kugel. Am wichtigsten ist die Beobachtung, dass das Volumen nur von den beiden End-Kreisradien und der Höhe abhängt, nicht davon, wo das Band auf der Kugel sitzt, und nicht einmal vom vollen Kugelradius: Ein dünnes Band nahe dem Äquator und ein dünnes Band nahe dem Pol haben dasselbe Volumen, solange ihre Grundradien und ihre Dicke übereinstimmen. Deshalb ist die Formel so praktisch für teilgefüllte kugelförmige Tanks — du misst den Radius der Flüssigkeitsoberfläche, den Radius an der Bodenberührung und die Tiefe und hast das eingeschlossene Volumen direkt. Da die Klammer 3a² und 3b² addiert, fasst ein breiteres Band stets mehr als ein schmales gleicher Höhe, und der zusätzliche Term h² liefert einen kleinen weiteren Beitrag aus der Krümmung über die Dicke. Halte die Geometrie sauber: a und b sind die Radien der flachen Kreisflächen, nicht der Kugelradius, und h ist der gerade senkrechte Abstand zwischen den beiden Ebenen.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Echte Kugel, parallele Schnitte und einheitliche Einheiten
Diese Formel beschreibt ein Segment einer perfekten Kugel, geschnitten durch zwei parallele Ebenen. Sie gilt nicht für ein Ellipsoid, eine Eiform oder einen Tank, dessen Enden nicht wirklich kugelförmig sind, und die beiden Schnitte müssen parallel sein — ein geneigter Schnitt ergibt einen anderen Körper. Eine Kugelkappe (eine flache Fläche, zweiter Schnitt durch den höchsten Punkt) ist ein Sonderfall mit oberem Radius null, nutze dort lieber einen Kappen-Rechner, statt ein winziges b einzugeben. Die beiden Radien und die Höhe sind außerdem einheitenunabhängig, das Ergebnis ist also nur sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: Radien und eine Höhe in Zentimetern ergeben ein Volumen in Kubikzentimetern, niemals eine Mischung.