Kugelkappe-Oberfläche Rechner
Aus Kugelradius und Kappenhöhe erhältst du die gekrümmte Mantelfläche, den Radius der flachen Basis und die Gesamtoberfläche einer Kugelkappe.
Zwei Eingaben, drei Antworten
Gib den Kugelradius und die Kappenhöhe ein und der Rechner liefert auf einmal die Mantelfläche (2πRh), den Basisradius (√(h(2R−h))) und die Gesamtoberfläche.
Kappenhöhe nicht über 2R
Die Kappenhöhe h wird von der flachen Basis bis zur Spitze der Kuppel gemessen; sie kann höchstens der Kugeldurchmesser (2R) sein. Radius und Höhe sind einheitenunabhängig — halte durchgängig eine Einheit.
Was ist ein Kugelkappe-Oberfläche-Rechner?
Kugelradius und Kappenhöhe rein, ganze Kappe raus
Eine Kugelkappe ist das gerundete Stück, das entsteht, wenn eine einzige flache Ebene durch eine Kugel schneidet — eine Kuppel. Ein Kugelkappe-Oberfläche-Rechner macht aus zwei Größen — dem Radius R der ursprünglichen Kugel und der Höhe h der Kappe — die Zahlen, die diese Kuppel beschreiben: die Fläche ihrer gekrümmten Außenhaut (Mantelfläche), den Radius des flachen kreisförmigen Schnitts an ihrer Basis (Basisradius) und die gemeinsame Fläche aus Kuppel und Basis (Gesamtoberfläche). Das sind die Werte, die du für Kuppeldächer, Kontaktlinsen- und Linsenformen, die benetzte Fläche eines teilweise gefüllten Tanks und jede Geometrieaufgabe brauchst, in der ein Kugelausschnitt vorkommt.
Gib Kugelradius und Kappenhöhe in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Mantelfläche, Basisradius und Gesamtoberfläche sofort zu erhalten.
Zwei kurze Formeln, beide aus dem Kugelradius R, der Kappenhöhe h und der Konstante π (etwa 3,14159) gebildet.
Mantelfläche = 2 × π × R × hDie gekrümmte Mantelfläche (Kuppel) ist ein erstaunlich einfaches 2 × π × R × h — sie hängt nur vom Kugelradius und der Kappenhöhe ab, nicht davon, wo der Schnitt sitzt. Der Basisradius a, der Radius des flachen kreisförmigen Schnitts, ist √(h × (2R − h)) nach der Sehnengeometrie des Schnitts. Die Gesamtoberfläche addiert den flachen Basiskreis zur Kuppel: Gesamt = 2πRh + π × a².
Angenommen, du schneidest eine Kugel mit Radius 5 und die Kappe ist 2 hoch.
Basisradius
√(2 × (2 × 5 − 2)) = √(2 × 8) = √16 = 4 — der Radius des flachen kreisförmigen Schnitts.
Mantelfläche
2 × π × 5 × 2 = 62,831853 Quadrateinheiten — die Außenhaut der Kuppel.
Gesamtoberfläche
62,831853 + π × 4² = 62,831853 + 50,265482 = 113,097336 Quadrateinheiten.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene Alltagsfragen. Die Mantelfläche (etwa 62,831853 Quadrateinheiten bei R = 5, h = 2) ist die Fläche der Außenhaut der Kuppel — das Material für ein Kuppeldach, die Beschichtung einer Kontaktlinse, die benetzte Wand eines bis zur Tiefe h gefüllten Tanks. Die wichtigste Erkenntnis ist, wie einfach 2πRh ist: Die Kuppelfläche wächst direkt proportional zur Kappenhöhe, eine doppelt so hohe Kappe hat also die doppelte Mantelfläche, und eine ganze Halbkugel (h = R) ergibt 2πR², genau die halbe Kugel. Der Basisradius (hier 4) ist der Radius der flachen Kreisfläche, die der Schnitt hinterlässt — die Öffnung der Kuppel; beachte, dass er am Äquator (h = R) am größten ist und auf null zurückgeht, je mehr die Kappe zur ganzen Kugel wächst. Die Gesamtoberfläche (etwa 113,097336) schließt die Kuppel mit dieser flachen Basis, der Wert, den du brauchst, wenn die Kappe ein fester Deckel statt einer offenen Schale ist. Nutze die Mantelfläche für eine offene Kuppel und die Gesamtoberfläche für eine geschlossene.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Ein einziger flacher Schnitt und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben eine Kappe, die von einer flachen Ebene aus einer perfekten Kugel geschnitten wird, daher muss die Kappenhöhe h zwischen 0 und dem vollen Durchmesser 2R liegen — ein größeres h ist geometrisch unmöglich und der Rechner liefert kein Ergebnis. Eine von einer gekrümmten Fläche geschnittene Kappe, ein Ellipsoid-Schnitt oder ein Kugelschichtband (zwischen zwei parallelen Schnitten) weicht ab. Radius und Höhe sind außerdem einheitenunabhängig, halte also durchgängig eine Einheit: ein Radius und eine Höhe in Zentimetern ergeben Flächen in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.