Kugelkappe-Volumen Rechner
Aus einem Kugelradius und einer Kappenhöhe erhältst du Volumen, gekrümmte Oberfläche und Basisradius — die drei Zahlen, die jede aus einer Kugel geschnittene Kuppel beschreiben.
Zwei Eingaben, drei Antworten
Gib den Kugelradius R und die Kappenhöhe h ein und der Rechner liefert auf einmal das Volumen ((πh²/3)(3R−h)), die gekrümmte Oberfläche (2πRh) und den Basisradius (√(h(2R−h))).
Eine Kappe schlägt ihre Kugel nicht
Die Kappenhöhe kann den Kugeldurchmesser (2R) nie überschreiten. Bei h = R ist die Kappe eine Halbkugel; bei h = 2R ist sie die ganze Kugel — alles Höhere wird abgewiesen.
Was ist ein Kugelkappe-Volumen-Rechner?
Kugelradius und Kappenhöhe rein, ganze Kuppel raus
Ein Kugelkappe-Volumen-Rechner macht aus zwei Größen — dem Radius R einer vollen Kugel und der Kappenhöhe h — die Zahlen, die die aus dieser Kugel von einer flachen Ebene geschnittene Kuppel beschreiben: wie viel sie fasst (Volumen), die Fläche ihrer gekrümmten Außenhaut (gekrümmte Oberfläche) und den Radius der flachen Kreisfläche, die der Schnitt hinterlässt (Basisradius). Jede davon steht fest, sobald du R und h kennst, denn jede Kappe teilt sich dieselbe Konstante π (Pi). Damit sind diese beiden Eingaben alles, was du brauchst — für Flüssigkeit im runden Boden eines kugelförmigen Tanks, Architekturkuppeln sowie Kontaktlinsen- oder Linsensegment-Volumen.
Gib Kugelradius und Kappenhöhe in einer beliebigen Längeneinheit ein, um Volumen, gekrümmte Oberfläche und Basisradius sofort zu erhalten.
Drei kurze Formeln, alle aus dem Kugelradius R, der Kappenhöhe h und der Konstante π (etwa 3,14159) gebildet.
Volumen = (π × h² / 3) × (3R − h)Die gekrümmte Oberfläche — die Außenhaut der Kuppel, der Teil der Kugeloberfläche, der zur Kappe gehört — ist 2 × π × R × h. Der Basisradius, der Radius der flachen Kreisfläche, an der die Ebene die Kugel geschnitten hat, ist √(h × (2R − h)) nach dem Sehnensatz. Das Volumen, der Raum innerhalb der Kuppel, ist (π × h² / 3) × (3R − h).
Angenommen, du schneidest eine Kappe der Höhe 2 aus einer Kugel mit Radius 5.
Basisradius
√(2 × (2 × 5 − 2)) = √(2 × 8) = √16 = 4 — die flache Kreisfläche, die der Schnitt hinterlässt.
Gekrümmte Oberfläche
2 × π × 5 × 2 = 62,831853 Quadrateinheiten — die Außenhaut der Kuppel.
Volumen
(π × 2² / 3) × (3 × 5 − 2) = 54,454273 Kubikeinheiten — der Platz darin.
Die drei Ergebnisse beantworten drei verschiedene Alltagsfragen. Das Volumen (etwa 54,454273 Kubikeinheiten bei R = 5, h = 2) ist, wie viel die Kappe fasst — die Flüssigkeit im runden Boden eines kugelförmigen Tanks, das Material in einer Kuppel, das Fluid in einem Linsensegment. Die wichtigste Erkenntnis ist, wie die Kappenhöhe die Form bestimmt: Wenn h = R ist, verläuft die Ebene durch den Mittelpunkt und die Kappe ist genau eine Halbkugel, die halbe Kugel; wenn h = 2R ist, erreicht die Kappenhöhe den vollen Durchmesser und die Kappe ist die ganze Kugel. Der Basisradius (hier 4) ist der Radius der flachen Kreisfläche, die der Schnitt hinterlässt — er wächst, während die Kappe zum Äquator hin tiefer wird, und schrumpft danach wieder, mit dem Höchstwert bei h = R. Die gekrümmte Oberfläche (etwa 62,831853 Quadrateinheiten) ist die Außenhaut der Kuppel, die du streichen, verkleiden oder glasieren würdest, und sie steigt einfach proportional zur Kappenhöhe, denn sie ist 2πRh. π ist der rote Faden, der alles verbindet — dieselbe Konstante verknüpft R und h mit Volumen, Oberfläche und Basis jeder Kappe, ob groß oder klein.
Die Formeln sind exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Echte Kugeln und einheitliche Einheiten
Diese Formeln beschreiben eine Kappe, die von einer flachen Ebene aus einer perfekten Kugel geschnitten wird. Eine Kappe aus einer eiförmigen (ellipsoiden) Oberfläche, eine Kuppel mit dicken Wänden oder ein Tank, dessen Enden nicht wirklich kugelförmig sind, weicht vom berechneten Wert ab. Die Kappenhöhe muss außerdem innerhalb des Kugeldurchmessers bleiben (h ≤ 2R), und die Eingaben sind einheitenunabhängig, die Ergebnisse sind also nur dann sinnvoll, wenn du durchgängig eine Einheit verwendest: ein Radius und eine Höhe in Zentimetern ergeben ein Volumen in Kubikzentimetern und eine gekrümmte Oberfläche in Quadratzentimetern, niemals eine Mischung.