Kugelkeil-Volumen Rechner
Aus einem Kugelradius und einem Keilwinkel in Grad erhältst du das Volumen des Orangenspalten-Stücks der Kugel — des Teils zwischen zwei Halbebenen, die sich an der Achse treffen.
Radius und Winkel rein, Volumen raus
Gib den Kugelradius und den Keilwinkel in Grad ein und der Rechner liefert das Keilvolumen, (2/3)·R³·α — ein Keil von 360° ergibt die ganze Kugel.
Der Winkel ist Grad, keine Länge
Der Keilwinkel wird in Grad gemessen (0–360°); nur der Radius trägt eine Längeneinheit, also kommt das Volumen in Kubikeinheiten dieser Radius-Einheit zurück.
Was ist ein Kugelkeil?
Das Orangenspalten-Stück einer Kugel
Ein Kugelkeil — manchmal auch Kugelungula genannt — ist das Stück einer Vollkugel zwischen zwei flachen Halbebenen, die sich an einem Durchmesser (der Kugelachse) treffen, genau wie eine einzelne Orangenspalte. Zwei Zahlen legen ihn vollständig fest: der Radius der ganzen Kugel und der Keilwinkel, der Winkel zwischen diesen beiden flachen Flächen. Da der Keil ein fester Bruchteil der Kugel ist — sein Winkel an einer ganzen Umdrehung —, ist sein Volumen einfach dieser Bruchteil des Kugelvolumens. Damit ist er das richtige Werkzeug für Orangen- und Melonenspalten, tortenförmige Tankabschnitte, Kuppelsegmente und jede Geometrieaufgabe über eine Teilkugel.
Gib den Kugelradius und den Keilwinkel in Grad ein, um das Keilvolumen sofort zu erhalten — 360° ergibt die ganze Kugel.
Eine kurze Formel, gebildet aus dem Radius R, dem Winkel in Grad und der Konstante π (etwa 3,14159).
Volumen = (2/3) × R³ × α (α im Bogenmaß)Rechne zuerst den Winkel ins Bogenmaß um: α = Winkel × π / 180. Dann ist das Volumen (2/3) × R³ × α. Das ist das Kugelvolumen (4/3)πR³, skaliert mit dem Anteil des Keils an einer ganzen Umdrehung — bei 360° (α = 2π) wird die Formel zu (2/3)·R³·2π = (4/3)πR³, der ganzen Kugel, wie es sein muss.
Angenommen, du hast eine Kugel mit Radius 5 und möchtest einen 90°-Keil.
Winkel ins Bogenmaß
90 × π / 180 = 1,570796 Radiant — eine Vierteldrehung.
Formel anwenden
(2/3) × 5³ × 1,570796 = (2/3) × 125 × 1,570796 = 130,899694 Kubikeinheiten.
Plausibilitätsprüfung
Ein 90°-Keil ist ein Viertel der Kugel; (4/3)π·5³ ≈ 523,598776, und ein Viertel davon ist 130,899694 — das passt.
Das Volumen sagt dir, wie viel Vollkugel im Keil steckt. Die nützlichste Vorstellung: Der Keil ist einfach ein Bruchteil der ganzen Kugel — sein Winkel geteilt durch 360°. Ein 90°-Keil ist ein Viertel der Kugel, ein 180°-Keil eine Halbkugel und ein 360°-Keil die ganze Kugel — ein doppelter Winkel verdoppelt also das Volumen, während ein anderer Radius das Volumen mit der dritten Potenz der Änderung skaliert (doppelter Radius bedeutet achtfaches Volumen). Bei r = 5 und einem 90°-Keil ist das Volumen etwa 130,899694 Kubikeinheiten, genau ein Viertel der 523,598776 der Kugel. Nutze das für eine Orangen- oder Melonenspalte, einen tortenförmigen Abschnitt eines Kugeltanks oder einen aus einer Kuppel geschnittenen Keil. Bedenke: Der Winkel wirkt linear, der Radius kubisch, eine kleine Änderung des Radius verschiebt das Volumen also weit stärker als dieselbe Änderung des Winkels.
Die Formel ist exakt, doch ein paar praktische Punkte solltest du im Blick behalten.
Ein echter Keil durch den Mittelpunkt, Winkel in Grad
Diese Formel beschreibt einen Keil, dessen beide flache Flächen durch den Kugelmittelpunkt gehen und sich an einem Durchmesser treffen — eine echte Orangenspalte. Ein Schnitt, der den Mittelpunkt verfehlt, eine Kugelkappe oder ein Kugelsektor (durch eine Ebene geschnitten, nicht durch zwei Halbebenen an der Achse) oder eine abgeflachte oder eingedellte Kugel weichen vom berechneten Wert ab. Der Winkel muss in Grad zwischen 0 und 360 angegeben werden, und nur der Radius trägt eine Längeneinheit, das Volumen ist also in Kubikeinheiten dieser Einheit.