Harmonisches Mittel Rechner
Gib zwei positive Werte ein, um ihr harmonisches Mittel (2ab / (a + b)) zu erhalten — samt arithmetischem Mittel — und sieh, warum es der richtige Mittelwert für Raten wie Geschwindigkeiten ist.
Zwei Mittelwerte auf einmal
Gib beide Werte ein und der Rechner liefert das harmonische Mittel (2ab / (a
- b)) zusammen mit dem arithmetischen Mittel ((a + b) / 2), sodass du sie direkt vergleichen kannst.
Nur positive Werte
Das harmonische Mittel ist nur für positive Zahlen definiert — gib Werte größer als null ein, sonst liefert der Rechner kein Ergebnis.
Was ist das harmonische Mittel?
Der richtige Mittelwert für Raten
Der Harmonisches-Mittel-Rechner macht aus zwei positiven Zahlen ihr harmonisches Mittel, den Mittelwert, der Raten und Verhältnisse korrekt zusammenfasst statt einfacher Mengen. Während das alltägliche (arithmetische) Mittel die Werte einfach addiert und halbiert, ist das harmonische Mittel der Kehrwert des Durchschnitts der Kehrwerte — für zwei Zahlen vereinfacht es sich zu 2ab / (a + b). Sein klassischer Einsatz ist die Durchschnittsgeschwindigkeit: Fährst du gleiche Strecken mit zwei verschiedenen Geschwindigkeiten, liefert das harmonische Mittel die wahre Durchschnittsgeschwindigkeit, weil du beim langsameren Tempo mehr Zeit verbringst. Es erscheint auch in der Finanzwelt (Mittelung von Kurs-Gewinn-Verhältnissen) und in der Statistik (dem F1-Maß).
Gib zwei positive Werte ein, um das harmonische Mittel (2ab / (a + b)) und das arithmetische Mittel zum Vergleich nebeneinander zu erhalten.
Das harmonische Mittel zweier Werte ist das Doppelte ihres Produkts geteilt durch ihre Summe, und das arithmetische Mittel ist einfach ihre halbierte Summe.
H = 2ab / (a + b)Nimm a = 2 und b = 3. Ihr Produkt ist 2 × 3 = 6, das Doppelte also 12, und ihre Summe ist 2 + 3 = 5. Die Division ergibt 12 / 5 = 2,4 — das harmonische Mittel. Das arithmetische Mittel ist (2 + 3) / 2 = 2,5. Das harmonische Mittel fällt etwas kleiner aus, und genau das ist der Punkt: Das harmonische Mittel neigt sich zum kleineren der beiden Werte, was beim Mitteln von Raten über eine feste Gesamtmenge genau richtig ist.
Die Formel ist exakt, doch zu wissen, wann das harmonische Mittel das richtige Werkzeug ist, zählt mehr als die Rechnung selbst.
Positive Werte und die richtige Art von Mittelwert
Das harmonische Mittel braucht beide Eingaben streng positiv — ein Wert von null oder ein negativer Wert macht die Kehrwerte undefiniert, also liefert der Rechner kein Ergebnis. Greif dazu, wenn du Raten über eine feste Größe mittelst (gleiche Strecken mit zwei Tempi, gleiche Investitionen zu zwei Preisen); für gewöhnliche Mengen ist das arithmetische Mittel richtig. Das harmonische Mittel ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel, gleich nur dann, wenn a = b.