Dreiecksfläche aus Koordinaten Rechner
Gib die (x, y)-Koordinaten von drei Ecken ein und erhalte die exakte Fläche des Dreiecks — mit der Gauß'schen Trapezformel, die unabhängig von der Reihenfolge der Punkte funktioniert.
Nur die sechs Zahlen
Gib das x und y jeder der drei Ecken ein und der Rechner liefert die eingeschlossene Fläche sofort — ganz ohne Seitenlängen oder Winkel zu messen.
Jede Reihenfolge passt
Die Formel nimmt den Betrag, daher liefert das Aufzählen der Ecken im oder gegen den Uhrzeigersinn dieselbe positive Fläche.
Was berechnet das?
Fläche direkt aus den Eckpunkten
Dieser Dreiecksfläche-Koordinaten-Rechner findet die Fläche eines Dreiecks, wenn du nur weißt, wo seine drei Ecken in der Ebene liegen. Gib ihm die (x, y)-Koordinaten jedes Eckpunkts und er liefert die Fläche des eingeschlossenen Bereichs in Quadrat-Koordinateneinheiten. Er verwendet die Gauß'sche Trapezformel (auch Schnürsenkel- oder Vermesserformel genannt), ein Ergebnis der analytischen Geometrie, das sechs Zahlen direkt in eine Fläche verwandelt — ohne Seitenlängen, Grundseite oder Höhe. Das ist das Werkzeug hinter Flächen aus Landvermessung, Polygonfüllungen in der Computergrafik und jeder Geometrieaufgabe, bei der Punkte leichter abzulesen sind als Abstände.
Gib das x und y aller drei Ecken ein, um sofort die exakte Fläche des Dreiecks zu erhalten — in beliebiger Reihenfolge der Ecken.
Die Trapezformel nimmt die Hälfte des Betrags einer Summe, die aus den drei Koordinatenpaaren gebildet wird. Jedes x wird mit der Differenz der beiden anderen y-Werte multipliziert.
Fläche = ½ × |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|Die Summe innerhalb der Betragsstriche ist die doppelte vorzeichenbehaftete Fläche. Sind die Ecken gegen den Uhrzeigersinn aufgezählt, ist das Vorzeichen positiv, im Uhrzeigersinn negativ — doch der Betrag entfernt das Vorzeichen, sodass du immer eine nicht-negative Fläche erhältst, unabhängig von der Reihenfolge, in der du die Punkte eingegeben hast.
Nimm das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken (0, 0), (4, 0) und (0, 3).
Koordinaten in die Formel einsetzen
x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2) wird zu 0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0).
Die Summe ausrechnen
Das ergibt 0 + 12 + 0 = 12 — das ist die doppelte vorzeichenbehaftete Fläche.
Die Hälfte des Betrags nehmen
½ × |12| = 6 — die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten, was zur Kontrolle über Grundseite mal Höhe passt (½ × 4 × 3 = 6).
Die Zahl, die du erhältst, ist die von den drei Punkten eingeschlossene Fläche, ausgedrückt in Quadrat-Koordinateneinheiten — sind deine Koordinaten in Metern, ist die Fläche in Quadratmetern. Zwei Eigenschaften der Formel solltest du verstehen. Erstens sorgt der Betrag dafür, dass das Ergebnis nie negativ wird und nie von der Reihenfolge abhängt, in der du die Ecken eingibst: im oder gegen den Uhrzeigersinn, Eckpunkt 1 zuerst oder Eckpunkt 3 zuerst — die Antwort bleibt gleich. Zweitens schließen drei Punkte, die auf einer einzigen Geraden liegen, gar keinen Bereich ein, und die Formel liefert dann korrekt eine Fläche von genau null — ein praktischer Test, ob drei Punkte kollinear sind. Für jede andere Anordnung ist das Ergebnis die wahre Fläche, exakt bis zur Genauigkeit der eingegebenen Zahlen, ohne dass die Methode selbst rundet.
Die Formel ist exakt, doch ein paar Punkte solltest du im Blick behalten.
Ebene Koordinaten und einheitliche Einheiten
Dieser Rechner arbeitet mit drei Punkten in einer flachen (2D-)Ebene und setzt voraus, dass beide Koordinaten jedes Punkts dieselbe Einheit verwenden. Ein Ergebnis von null ist kein Fehler — es bedeutet, dass die drei Punkte kollinear sind und keine Fläche einschließen. Für Punkte im 3D-Raum oder für die Fläche aus Seitenlängen statt Koordinaten verwende stattdessen den Satz des Heron.