Bruchrechner exakt und gekürzt
Gib zwei Brüche und eine Rechenart ein. Du bekommst das Ergebnis vollständig gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl.
Nichts wird gerundet
Die ganze Rechnung bleibt bis zum letzten Schritt in ganzen Zahlen.
Nenner null ist nicht definiert
Ein Bruch braucht einen Nenner ungleich null, und durch null darf man nicht teilen.
Wie rechnet man mit Brüchen?
Auf einen Blick
Ein Bruch ist eine ganze Zahl geteilt durch eine andere. Multiplizieren und Dividieren sind einfach — über Kreuz multiplizieren beziehungsweise den zweiten Bruch stürzen und multiplizieren. Addieren und Subtrahieren brauchen zuerst einen gemeinsamen Nenner, weil sich nur gleich große Teile zusammenfassen lassen.
Jede Rechenart hat ihre eigene Regel, und alle vier bleiben bei ganzen Zahlen:
a/b + c/d = (ad + cb)/bd · a/b − c/d = (ad − cb)/bd · a/b × c/d = ac/bd · a/b ÷ c/d = ad/bcGekürzt wird mit dem euklidischen Algorithmus: Er findet den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, durch den beide geteilt werden. Für 38 und 24 ist das 2, aus 38/24 wird also 19/12.
Dass alles ganzzahlig bleibt, ist entscheidend. Ein Dezimalrechner macht aus 1/3 die Zahl 0,3333333333333333, und 1/3 + 1/6 ergibt dann 0,4999999999999999 statt exakt 1/2. Diese Seite wandelt erst in eine Dezimalzahl um, wenn das Ergebnis exakt feststeht.
Das sind die Werte, die der Rechner voreingestellt lädt.
Gemeinsamen Nenner finden
4 × 6 = 24. Es muss nicht der kleinste gemeinsame Nenner sein — das Kürzen am Ende erledigt das.
Beide Brüche erweitern
Aus 3/4 wird 18/24, aus 5/6 wird 20/24.
Zähler addieren
18 + 20 = 38, das Ergebnis ist also 38/24.
Kürzen
Der größte gemeinsame Teiler von 38 und 24 ist 2, es bleibt 19/12.
In drei Formen ausdrücken
19 ÷ 12 = 1 Rest 7, also 1 7/12 als gemischte Zahl und 1,583333 als Dezimalzahl.
Die Arithmetik hier ist exakt, die Grenzen liegen also darin, was ein Bruch überhaupt darstellen kann.
Ein unechter Bruch ist nicht falsch. 19/12 und 1 7/12 sind dieselbe Zahl. Mit unechten Brüchen rechnet es sich leichter weiter, gemischte Zahlen kann man sich besser vorstellen. In der Schule ist meist die gemischte Form gefragt, in der Algebra die unechte.
Die Dezimalzahl ist oft die Näherung. 19/12 ist exakt, 1,583333 ist derselbe Wert auf sechs Stellen gerundet. Wo ein Bruch eine periodische Dezimaldarstellung hat, ist der Bruch die genaue Form — nicht die Dezimalzahl.
Nenner null werden abgelehnt, nicht geraten. Ein Nenner von null hat keinen Wert, und durch einen Bruch mit Zähler null zu teilen ist eine Division durch null. Beides liefert kein Ergebnis.
Sehr große Eingaben sprengen die exakte Ganzzahlarithmetik. Zähler und Nenner sind hier auf eine Million begrenzt; multipliziert man zwei Brüche nahe dieser Grenze, entstehen Zwischenwerte außerhalb des Bereichs, in dem jede ganze Zahl exakt darstellbar ist.
Für die Gegenrichtung nimm den Dezimal-Bruch-Umrechner. Für den größten gemeinsamen Teiler allein den ggT- und kgV-Rechner.