Dezimal-Bruch-Umrechner findet den einfachen Bruch
Mach aus einer Dezimalzahl den einfachsten Bruch oder aus einem Bruch eine Dezimalzahl — in beide Richtungen.
Am einfachsten, nicht am nächsten
Der Algorithmus sucht den einfachsten Bruch innerhalb der Toleranz, nicht den nächstliegenden über einem festen Nenner.
Die Stellen entscheiden
0,333333333 findet 1/3. 0,33 findet 33/100. Beides ist korrekt für das, was eingegeben wurde.
Wie macht man aus einer Dezimalzahl einen Bruch?
Auf einen Blick
Eine abbrechende Dezimalzahl ist einfach: Ziffern über die passende Zehnerpotenz schreiben und kürzen. Interessant wird es bei periodischen Zahlen, denn 0,333333333 über einer Milliarde ist zwar technisch richtig, aber nutzlos — gemeint ist 1/3.
Vom Bruch zur Dezimalzahl ist es eine Division. Die andere Richtung nutzt eine Kettenbruchentwicklung: Das Verfahren nimmt wiederholt den ganzzahligen Anteil und invertiert den Rest.
x = a₀ + 1 ÷ (a₁ + 1 ÷ (a₂ + …))Jeder Schritt liefert einen Näherungsbruch, der die Dezimalzahl besser trifft als jeder einfachere Bruch. Der Algorithmus stoppt, sobald ein Näherungsbruch näher als 10⁻¹⁰ liegt oder der Nenner die eingestellte Grenze überschreiten würde. Deshalb findet er für 0,333333333 den Bruch 1/3, statt 333.333.333/1.000.000.000 zu kürzen — dort gibt es nichts zu kürzen.
Gekürzt wird am Ende mit dem euklidischen Algorithmus, aus 375/1000 wird also 3/8, und das Vorzeichen sitzt immer im Zähler.
Die Voreinstellung macht aus 0,375 den Bruch 3/8. Die anderen Fälle zeigen, wann die eingegebenen Stellen zählen.
Abbrechende Zahl: 0,375
Die Entwicklung bricht exakt ab und ergibt 3/8 ganz ohne Näherung.
Periodische Zahl: 0,333333333
Neun Dreien liegen näher als 10⁻¹⁰ an einem Drittel, der erste Näherungsbruch passt also schon: 1/3.
Längere Periode: 0,142857142857
Die sechsstellige Periode von einem Siebtel wird erkannt, das Ergebnis ist 1/7.
Zu wenige Stellen: 0,33
Zwei Stellen liegen nicht nah genug an einem Drittel, die ehrliche Antwort ist 33/100 — und genau das wurde eingegeben.
Nenner begrenzen: 3,14159265
Ohne Grenze ergibt das 308429/98176. Begrenze den Nenner auf 200, und du bekommst den klassischen Näherungswert 355/113.
Die Umrechnung ist eindeutig, aber das Ergebnis hängt davon ab, wonach du gefragt hast.
Deine eingegebenen Stellen sind die Vorgabe. 0,33 und 0,333333333 sind verschiedene Zahlen und bekommen verschiedene Brüche. Wenn du weißt, dass die Zahl periodisch ist, tipp genug Stellen — neun reichen für jede übliche Periode.
Die Nennergrenze ist ein Feature. Ein niedrigerer Wert erzwingt eine einfachere Näherung, was bei Maßen genau richtig ist: Grenze 16, und aus 0,313 wird 5/16 — das nächste Sechzehntelzoll.
Irrationale Zahlen haben keinen exakten Bruch. π, √2 und e lassen sich nur annähern. Das Ergebnis ist eine sehr gute rationale Näherung, aber nie die Zahl selbst.
Angezeigt werden zehn Nachkommastellen, lange Perioden werden abgeschnitten. 1/7 erscheint als 0,1428571429; exakt ist der Bruch, nicht die Dezimalzahl.
Um mit den gefundenen Brüchen zu rechnen, nimm den Bruchrechner. Für den größten gemeinsamen Teiler hinter dem Kürzen den ggT- und kgV-Rechner.