Fall 1
- x₁ (erster Punkt)
- 0
- y₁ (erster Punkt)
- 0
- z₁ (erster Punkt)
- 0
- x₂ (zweiter Punkt)
- 2
- y₂ (zweiter Punkt)
- 3
- z₂ (zweiter Punkt)
- 6
7,000000
Mit diesen Werten öffnen3D-Abstandsrechner
7,000000
Ergebnis: 7,000000Die Koordinaten achsenweise voneinander abziehen, die drei Differenzen quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen. Vom Ursprung nach (2, 3, 6) sind das √(4 + 9 + 36) = 7. Sind beide z-Werte gleich, fällt der dritte Term weg und das Ergebnis entspricht der Formel in der Ebene.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: x₁ (erster Punkt) 0,0000, y₁ (erster Punkt) 0,0000, z₁ (erster Punkt) 0,0000, x₂ (zweiter Punkt) 2,0000, y₂ (zweiter Punkt) 3,0000.
| z₂ (zweiter Punkt) | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | 3,605551 |
| 2,0000 | 4,123106 |
| 4,0000 | 5,385165 |
| 6,0000Dein Wert | 7,000000 |
| 8,0000 | 8,774964 |
| 10,0000 | 10,630146 |
| 12,0000 | 12,529964 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- x₁ (erster Punkt)
- 1
- y₁ (erster Punkt)
- 1
- z₁ (erster Punkt)
- 1
- x₂ (zweiter Punkt)
- 4
- y₂ (zweiter Punkt)
- 5
- z₂ (zweiter Punkt)
- 1
5,000000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- x₁ (erster Punkt)
- -1
- y₁ (erster Punkt)
- -2
- z₁ (erster Punkt)
- -2
- x₂ (zweiter Punkt)
- 2
- y₂ (zweiter Punkt)
- 2
- z₂ (zweiter Punkt)
- 4
7,810250
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
- SchrittDie Koordinaten des ersten Punktes eintragen, dann die des zweiten.
- SchrittDie drei Achsendifferenzen Δx, Δy und Δz sind die Kanten eines Quaders.
- ErgebnisDer Abstand ist dessen Raumdiagonale: √(Δx² + Δy² + Δz²).
Referenztabelle
| x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ | Δx, Δy, Δz | Abstand |
|---|---|---|
| 3, 3, 3, 3, 3, 3 | 0, 0, 0 | 0,000000 |
| 0, 0, 0, 1, 2, 2 | 1, 2, 2 | 3,000000 |
| 0, 0, 0, 1,5, 2,5, 3,5 | 1,5, 2,5, 3,5 | 4,555217 |
| 1, 1, 1, 4, 5, 1 | 3, 4, 0 | 5,000000 |
| 0, 0, 0, 2, 3, 6 | 2, 3, 6 | 7,000000 |
| -1, -2, -2, 2, 2, 4 | 3, 4, 6 | 7,810250 |
Fragen
Wie berechne ich den Abstand zwischen zwei Punkten in 3D?
Mit d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Die zusammengehörigen Koordinaten auf jeder Achse abziehen, jede Differenz quadrieren, die drei Quadrate addieren und die Wurzel ziehen. Für (0, 0, 0) und (1, 2, 2) sind das √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Warum ist das der Satz des Pythagoras?
Die beiden Punkte liegen an gegenüberliegenden Ecken eines Quaders, dessen Kanten die Achsendifferenzen Δx, Δy und Δz sind. Pythagoras zweimal angewendet — erst über die Grundfläche, dann hinauf zur fernen Ecke — ergibt d² = Δx² + Δy² + Δz².
Wie unterscheidet sich der 3D-Abstand vom 2D-Abstand?
Die 3D-Formel fügt nur einen dritten quadrierten Term für die z-Achse hinzu. Sind beide z-Koordinaten gleich, ist Δz null und das Ergebnis stimmt genau mit der Formel in der Ebene überein.
Kann ich negative oder null Koordinaten verwenden?
Ja, auf jeder Achse. Für (−1, −2, −2) und (2, 2, 4) sind die Differenzen 3, 4 und 6, also √61 ≈ 7,81. Zwei gleiche Punkte ergeben den Abstand null.
Wo wird die 3D-Abstandsformel verwendet?
Überall dort, wo ein geradliniger Abstand im Raum zählt: 3D-Modellierung und CAD, Kollisionsprüfungen in Spielen, der Abstand zwischen Atomen in der Chemie sowie Robotik und Bewegungsplanung.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.