Fall 1
- x des ersten Punkts (x₁)
- 1
- y des ersten Punkts (y₁)
- 2
- x des zweiten Punkts (x₂)
- 3
- y des zweiten Punkts (y₂)
- 6
2,0000
Mit diesen Werten öffnenSteigungs-Rechner
2,0000
Ergebnis: 2,0000Die Steigung ist die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x: von (1, 2) nach (3, 6) klettert die Gerade 4 auf 2 nach rechts, die Steigung ist also 2. Sie ist ein reines Verhältnis ohne Einheit, dieselbe Zahl in Metern wie in Kilometern. Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: x des ersten Punkts (x₁) 1,0000, y des ersten Punkts (y₁) 2,0000, x des zweiten Punkts (x₂) 3,0000.
| y des zweiten Punkts (y₂) | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | -1,0000 |
| 2,0000 | 0,0000 |
| 4,0000 | 1,0000 |
| 6,0000Dein Wert | 2,0000 |
| 8,0000 | 3,0000 |
| 10,0000 | 4,0000 |
| 12,0000 | 5,0000 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- x des ersten Punkts (x₁)
- 0
- y des ersten Punkts (y₁)
- 1
- x des zweiten Punkts (x₂)
- 4
- y des zweiten Punkts (y₂)
- 3
0,5000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- x des ersten Punkts (x₁)
- 2
- y des ersten Punkts (y₁)
- 5
- x des zweiten Punkts (x₂)
- 4
- y des zweiten Punkts (y₂)
- 1
-2,0000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- SchrittTrage beide Punkte ein; die Reihenfolge ist frei, solange sie oben und unten gleich bleibt.
- SchrittZiehe erst die y-Werte voneinander ab, dann die x-Werte — in derselben Reihenfolge.
- ErgebnisTeile die Änderung in y durch die Änderung in x; dieses Verhältnis ist die Steigung.
Was die Zahl bedeutet
Die Steigung misst, wie steil eine Gerade zwischen zwei Punkten ansteigt oder abfällt. Sie ist der Höhenunterschied geteilt durch den horizontalen Abstand — die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x, also (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Ziehe die Koordinaten oben und unten in derselben Reihenfolge ab, zweiter Punkt minus erster, sonst kippt das Vorzeichen. Für die Punkte (1, 2) und (3, 6) sind es 4 nach oben auf 2 nach rechts, die Steigung ist also 2. Das Vorzeichen sagt die Richtung, die Größe die Steilheit. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und null ist eine waagerechte Gerade, bei der sich y nie ändert. Eine Steigung von 2 klettert doppelt so schnell wie eine von 1, eine von 0,5 ist ein sanfter Anstieg. Es ist dieselbe Größe wie ein Gefälle in der Praxis: eine Rollstuhlrampe mit 5 Prozent, eine Dachneigung, die Änderungsrate einer Größe gegenüber einer anderen im Diagramm. Die wichtigste Einschränkung ist die senkrechte Gerade. Sind beide x-Werte gleich, ist der horizontale Abstand null, die Gerade steht senkrecht und die Steigung ist undefiniert — der Rechner gibt dann kein Ergebnis statt einer irreführenden Zahl. Und die Zahl beschreibt eine Gerade: Bei gekrümmten Daten liefert sie nur die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den beiden gewählten Punkten.
Vorzeichen für die Richtung, Betrag für die Steilheit
Eine positive Steigung geht von links nach rechts aufwärts, eine negative abwärts, null ist waagerecht. Eine Steigung von 2 klettert doppelt so schnell wie eine von 1.
Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung
Sind beide x-Werte gleich, ist der horizontale Abstand null, und durch null lässt sich nichts teilen. Der Rechner liefert dann kein Ergebnis statt einer irreführenden Zahl.
Dieselbe Größe wie ein Gefälle
Rampenneigung, Dachneigung und die Rate, mit der sich eine Größe gegen eine andere ändert, sind alle diese Zahl. Fünf Prozent Rampe sind eine Steigung von 0,05.
Häufig falsch verstanden
Es ist egal, welchen Punkt ich als ersten nehme.
Ist es — solange du oben und unten in derselben Reihenfolge abziehst. Wer die Reihenfolge mischt, dreht das Vorzeichen um.
Die Steigung beschreibt meine gekrümmten Daten.
Eine Steigung beschreibt eine Gerade. Zwischen zwei Punkten einer Kurve gibt sie die mittlere Änderungsrate, nicht die Rate an einem der beiden Punkte.
Referenztabelle
| x₁, y₁, x₂, y₂ | Gerade durch die Punkte | Steigung |
|---|---|---|
| 0, 0, 1, 1 | y = x | 1 |
| 1, 2, 3, 6 | y = 2x | 2 |
| 0, 1, 4, 3 | y = 0,5x + 1 | 0,5 |
| 0, 3, 2, 3 | y = 3, waagerecht | 0 |
| 2, 5, 4, 1 | y = -2x + 9, fallend | -2 |
| -1, -1, 1, 1 | y = x, durch negatives Gebiet | 1 |
Fragen
Wie berechne ich die Steigung zwischen zwei Punkten?
Teile die Änderung in y durch die Änderung in x — Steigung = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), oft Höhenunterschied durch horizontalen Abstand genannt. Für die Punkte (1, 2) und (3, 6) ist das (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 2. Ziehe die Koordinaten oben und unten in derselben Reihenfolge ab, dann erhältst du den Gradienten.
Wo schneidet die Gerade die y-Achse?
Sobald du die Steigung m hast, ist der y-Achsenabschnitt b = y₁ − m × x₁, und die Gerade lautet y = mx + b. Für (1, 2) und (3, 6) ist die Steigung 2, also b = 2 − 2 × 1 = 0 und die Gerade y = 2x. Diese Seite gibt die Steigung selbst aus; der Achsenabschnitt folgt daraus in einem Schritt.
Warum ist die Steigung einer senkrechten Geraden undefiniert?
Eine senkrechte Gerade hat an beiden Punkten denselben x-Wert, also ist x₂ − x₁ null, und durch null zu teilen ist undefiniert. Die Gerade gibt es weiterhin — etwa x = 4 —, sie hat nur keine endliche Steigung. Der Rechner zeigt dann kein Ergebnis statt einer irreführenden Zahl.
Was bedeuten positive, negative und null Steigungen?
Eine positive Steigung steigt von links nach rechts an, eine negative fällt, und eine Steigung von null ist eine waagerechte Gerade. Je größer der Betrag, desto steiler die Gerade: eine Steigung von 2 klettert doppelt so schnell wie eine von 1.
Dürfen die Koordinaten negativ oder null sein?
Ja. Jede der Größen x₁, y₁, x₂ und y₂ darf negativ, null oder positiv sein — Punkte liegen überall in der Ebene. Die einzige Einschränkung: die beiden x-Werte müssen sich unterscheiden, sonst verläuft die Gerade senkrecht.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.