Fall 1
- A — x
- 1
- A — y
- 2
- A — z
- 3
- B — x
- 4
- B — y
- 5
- B — z
- 6
7,348469
Mit diesen Werten öffnenKreuzprodukt-Betrag-Rechner
7,348469
Ergebnis: 7,348469Das Kreuzprodukt von (1, 2, 3) und (4, 5, 6) ist (−3, 6, −3), seine Länge √54 ≈ 7,3485. Diese Länge ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen — null bei parallelen Vektoren, am größten im rechten Winkel.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: A — x 1,0000, A — y 2,0000, A — z 3,0000, B — x 4,0000, B — y 5,0000.
| B — z | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | 19,442222 |
| 2,0000 | 15,165751 |
| 4,0000 | 11,045361 |
| 6,0000Dein Wert | 7,348469 |
| 8,0000 | 5,099020 |
| 10,0000 | 6,164414 |
| 12,0000 | 9,486833 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- A — x
- 1
- A — y
- 0
- A — z
- 0
- B — x
- 0
- B — y
- 1
- B — z
- 0
1,000000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- A — x
- 3
- A — y
- -3
- A — z
- 1
- B — x
- 4
- B — y
- 9
- B — z
- 2
41,833001
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
|A × B| = √(cx² + cy² + cz²)
- SchrittDie drei Komponenten von A eintragen, dann die von B.
- SchrittDas Kreuzprodukt ist cx = ay·bz − az·by, cy = az·bx − ax·bz, cz = ax·by − ay·bx.
- ErgebnisSeine Länge √(cx² + cy² + cz²) ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.
Referenztabelle
| ax, ay, az, bx, by, bz | A × B | Betrag |
|---|---|---|
| 1, 0, 0, 2, 0, 0 | (0, 0, 0) | 0,000000 |
| 1, 0, 0, 0, 1, 0 | (0, 0, 1) | 1,000000 |
| 2, 0, 0, 0, 3, 0 | (0, 0, 6) | 6,000000 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | (−3, 6, −3) | 7,348469 |
| -1, -2, -3, -4, -5, -6 | (−3, 6, −3) | 7,348469 |
| 3, -3, 1, 4, 9, 2 | (−15, −2, 39) | 41,833001 |
Fragen
Wie berechne ich den Betrag eines Kreuzprodukts?
Zuerst das Kreuzprodukt A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx) bestimmen, dann seine Länge √(cx² + cy² + cz²) nehmen. Für (1, 2, 3) und (4, 5, 6) ist das Kreuzprodukt (−3, 6, −3), der Betrag also √54 ≈ 7,3485.
Was bedeutet der Betrag des Kreuzprodukts?
Er entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Geometrisch gilt |A| |B| sin θ, wobei θ der Winkel zwischen ihnen ist — er wächst also, je senkrechter die Vektoren zueinander stehen.
Wann ist der Betrag des Kreuzprodukts null?
Immer dann, wenn die beiden Vektoren parallel oder antiparallel sind, denn dann ist sin θ null. Er ist auch null, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist, und am größten im rechten Winkel.
Wie unterscheidet sich das Kreuzprodukt vom Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt liefert eine einzelne Zahl und nutzt cos θ, ist also bei parallelen Vektoren am größten. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor senkrecht zu beiden Eingaben und nutzt sin θ, sodass sein Betrag bei senkrechten Vektoren am größten ist.
Funktioniert das Kreuzprodukt auch für 2D-Vektoren?
Das Kreuzprodukt ist für 3D-Vektoren definiert, also behandle einen 2D-Vektor als (x, y, 0). Das Ergebnis zeigt dann entlang der z-Achse, und sein Betrag ist der Flächeninhalt des Parallelogramms in der Ebene.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.