Fall 1
- Unterer Radius
- 5
- Oberer Radius
- 3
- Senkrechte Höhe
- 10
513,126800
Mit diesen Werten öffnenKegelstumpf-Rechner
513,126800Einheiten³
Ergebnis: 513,126800 Einheiten³Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, dem die Spitze parallel zur Grundfläche fehlt: Eimer, Blumentopf, Lampenschirm. Es ist nicht der Mittelwert der beiden Kreise — der Term R·r macht die Seite gerade statt gewölbt. Gleiche Radien ergeben wieder den Zylinder.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Unterer Radius 5,000, Oberer Radius 3,000.
| Senkrechte Höhe | Ergebnis |
|---|---|
| 2,500 | 128,281700 |
| 5,000 | 256,563400 |
| 7,500 | 384,845100 |
| 10,000Dein Wert | 513,126800 |
| 12,500 | 641,408500 |
| 15,000 | 769,690200 |
| 17,500 | 897,971900 |
| 20,000 | 1.026,253600 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Unterer Radius
- 1
- Oberer Radius
- 1
- Senkrechte Höhe
- 1
3,141593
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Unterer Radius
- 10
- Oberer Radius
- 5
- Senkrechte Höhe
- 20
3.665,191429
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
V = ⅓ × π × h × (R² + R·r + r²)
- SchrittDen Radius der weiten und der engen Öffnung messen.
- SchrittDie Höhe senkrecht zwischen beiden Kreisen messen.
- ErgebnisDas Volumen in der dritten Potenz der Einheit ablesen.
Was die Zahl bedeutet
Nicht der Mittelwert der beiden Kreise
Der Mittelwert ergibt für den Eimer mit den Radien 5 und 3 bei Höhe 10 genau 534,07 statt 513,13 — rund vier Prozent zu viel. Die Seite ist eine gerade Schräge, keine Stufe.
Der mittlere Term R·r trägt die Formel
Er ist der einzige Grund, warum in der Klammer nicht bloß zwei Kreisflächen addiert werden. Mit R = r wird daraus 3R², und die Formel fällt auf den Zylinder πR²h zurück.
Eimer, Blumentopf, Lampenschirm
Alle drei brauchen dieselben drei Maße: den Radius der weiten Öffnung, den der engen und die Höhe senkrecht zwischen beiden Kreisen.
Häufig falsch verstanden
Ich habe die beiden Kreisflächen gemittelt und mit der Höhe multipliziert.
Das macht den Eimer mit den Radien 5 und 3 um rund vier Prozent zu groß, 534,07 statt 513,13. In der Klammer steht R² + R·r + r².
Ich habe den größeren Radius versehentlich oben eingetragen.
Kein Schaden. Die Formel ist symmetrisch in R und r, ein umgedrehter Eimer fasst genauso viel.
Beide Öffnungen sind gleich groß, das ist also der falsche Rechner.
Er rechnet trotzdem richtig: Bei gleichen Radien wird die Formel zu πR²h, dem Zylinder. Mit 1, 1 und 1 kommt π heraus — eine gute Probe, dass die Eingaben sitzen.
Referenztabelle
| Unten, oben, Höhe | Hinweis | Volumen |
|---|---|---|
| 0,5, 0,25, 3 | kleiner Topf | 1,374447 |
| 1, 1, 1 | gleiche Radien → Zylinder π | 3,141593 |
| 2, 1, 6 | je Hälfte am Ende | 43,982297 |
| 5, 3, 10 | üblicher Eimer | 513,126800 |
| 10, 6, 20 | Eimer verdoppelt → achtfaches Volumen | 4105,014401 |
Fragen
Wie berechnet man das Volumen eines Kegelstumpfs?
Ein Drittel mal π mal Höhe mal R² + R·r + r². Ein Eimer von 10 Einheiten Höhe mit den Radien 5 und 3 fasst rund 513,13 Kubikeinheiten.
Warum nicht einfach die beiden Kreise mitteln?
Weil die Seite eine gerade Schräge ist und keine Stufe. Der Mittelwert der Endflächen ergibt für den Eimer oben 534,07 statt 513,13 — rund vier Prozent zu viel.
Spielt es eine Rolle, welchen Radius ich oben eintrage?
Nein. Die Formel ist symmetrisch in R und r, Vertauschen ändert nichts. Ein Eimer fasst umgedreht genauso viel.
Was, wenn beide Radien gleich sind?
Dann ist es ein Zylinder und die Formel fällt auf πR²h zurück. Das ist eine gute Probe: 1, 1 und 1 eintragen, es muss π herauskommen.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.