Fall 1
- Seitenlänge
- 6
15,588457
Mit diesen Werten öffnenGleichseitiges Dreieck: Fläche berechnen
15,588457Einheiten²
Ergebnis: 15,588457 Einheiten²Eine Seite bestimmt alles: die Fläche ist s²√3 ÷ 4, die Höhe s√3 ÷ 2, der Umfang 3s. Die Seite in einer beliebigen Längeneinheit eintragen; die Fläche kommt in deren zweiter Potenz heraus. Jeder Winkel misst 60°, unabhängig von der Größe.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Seitenlänge
- 1
0,433013
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Seitenlänge
- 10
43,301270
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
A = s² × √3 ÷ 4
- SchrittEine Seite messen — im gleichseitigen Dreieck sind alle drei gleich.
- SchrittSie in einer beliebigen Längeneinheit eintragen.
- ErgebnisDie Fläche in der zweiten Potenz dieser Einheit ablesen.
Was die Zahl bedeutet
Eine Zahl legt die ganze Figur fest
Fläche, Höhe, Umfang und alle drei Winkel folgen aus der einen Seitenlänge. Eine Seite von 6 ergibt Umfang 18, eine Höhe von rund 5,196 und die Fläche 9√3 ≈ 15,588457.
Die Höhe ist nicht die Seite
Sie ist Seite mal Wurzel drei halbe, also s√3 ÷ 2 und damit rund 0,866 der Seite, weil das Lot das Dreieck in zwei 30-60-90-Hälften teilt. Bei einer Seite von 6 sind das etwa 5,196 und nicht 6.
Immer 60°, in jeder Größe
Jeder Winkel misst 60°, ob die Seite nun 1 oder 10 lang ist. Skalieren ändert Längen und Fläche, die Winkel nie — deshalb genügt eine einzige Zahl.
Seite 2 ist ein Zufall, keine Regel
Bei einer Seite von 2 sind Fläche und Höhe beide √3 ≈ 1,732051, was das Paar leicht merkbar macht. Das trifft nur bei genau dieser einen Seitenlänge zu.
Häufig falsch verstanden
Fläche = Seite × Seite ÷ 2, Grundseite und Höhe sind ja beide die Seite.
Die Höhe ist s√3 ÷ 2 und nicht s. Die Abkürzung liefert bei einer Seite von 6 den Wert 18, während die Fläche 15,588457 beträgt.
Doppelte Seite, doppelte Fläche.
Es ist die vierfache, denn die Seite geht quadratisch ein. Seite 1 ergibt 0,433013, Seite 2 ergibt 1,732051 — viermal so viel.
√3 ÷ 4 ist eine gerundete Konstante aus einer Tabelle.
Sie ist exakt. Die Wurzel aus 3 stammt aus den 30-60-90-Hälften, die die Höhe erzeugt; s² × √3 ÷ 4 ist damit eine geschlossene Form, gerundet werden nur die angezeigten Nachkommastellen.
Referenztabelle
| Seite | Exakt | Fläche |
|---|---|---|
| 1 | √3 ÷ 4 | 0,433013 |
| 2 | √3 | 1,732051 |
| 4,5 | 5,0625√3 | 8,768507 |
| 6 | 9√3 | 15,588457 |
| 10 | 25√3 | 43,301270 |
Fragen
Wie berechnet man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks?
Die Seite quadrieren, mit √3 multiplizieren und durch 4 teilen. Eine Seite von 6 ergibt 9√3, rund 15,59 Quadrateinheiten.
Wie hoch ist ein gleichseitiges Dreieck?
Die Höhe ist s√3 ÷ 2, also rund 0,866 der Seite. Bei einer Seite von 6 sind das etwa 5,196.
Woher kommt die Wurzel aus 3?
Die Höhe teilt das Dreieck in zwei 30-60-90-Hälften, und √3 ist das Verhältnis in diesem rechtwinkligen Dreieck. Halbe Grundseite mal Höhe ergibt dann s²√3 ÷ 4.
Wie groß ist der Umfang?
Dreimal die Seite, weil alle drei Seiten gleich lang sind. Eine Seite von 6 ergibt 18.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.