ggT-kgV Rechner
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen — mit vollständigem Rechenweg.
Zwei Ergebnisse auf einmal
Gib zwei ganze Zahlen ein und erhalte den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) gemeinsam.
Nur ganze Zahlen
ggT und kgV sind für ganze Zahlen definiert. Dezimalzahlen werden abgelehnt, und der ggT von null und null ist nicht definiert.
Was sind ggT und kgV?
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte ganze Zahl, die zwei ganze Zahlen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive ganze Zahl, in die beide Zahlen aufgehen. Zusammen sind sie die Arbeitspferde der Bruchrechnung: Der ggT kürzt einen Bruch vollständig, und das kgV liefert den gemeinsamen Nenner zum Addieren von Brüchen.
Der schnellste Weg zum ggT ist der euklidische Algorithmus: Ersetze die größere Zahl wiederholt durch den Rest der Division durch die kleinere, bis der Rest null ist. Der letzte Wert ungleich null ist der ggT. Das kgV ergibt sich dann direkt aus dem ggT.
ggT(a, b) = ggT(b, a mod b), ggT(a, 0) = |a|; kgV = |a × b| ÷ ggTMit den Beträgen zu rechnen bedeutet, dass negative Eingaben sich genauso verhalten wie ihre positiven Gegenstücke — ggT und kgV werden stets als nicht negative ganze Zahlen ausgegeben. Das kgV aus dem ggT zu berechnen (statt Vielfache aufzulisten) hält die Rechnung auch bei großen Zahlen exakt.
Angenommen, du möchtest den ggT und das kgV von 12 und 18.
Teilen und Rest bestimmen
18 ÷ 12 lässt den Rest 6, also ggT(18, 12) = ggT(12, 6).Wiederholen, bis der Rest null ist
12 ÷ 6 lässt den Rest 0, also ist der ggT 6.Das kgV aus dem ggT bestimmen
12 × 18 ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36, das kleinste gemeinsame Vielfache.
Ein ggT von 1 bedeutet, dass die beiden Zahlen teilerfremd sind — sie teilen keinen Faktor außer 1, ein Bruch aus ihnen ist also bereits vollständig gekürzt. Ein größerer ggT ist der Faktor, den du zum Kürzen herausziehst. Das kgV ist der gemeinsame Nenner, mit dem du Brüche dieser Nenner addierst, und der Punkt, an dem sich zwei sich wiederholende Zyklen wieder treffen. Ist eine der Zahlen null, ist das kgV null, da null das einzige gemeinsame Vielfache ist.
Die Rechnung ist exakt, doch die Definitionen haben Ränder, die du im Blick behalten solltest.
Nur ganze Zahlen, und null ist ein Sonderfall
ggT und kgV sind für ganze Zahlen definiert, daher werden Dezimalzahlen abgelehnt. Der ggT einer beliebigen Zahl und null ist der Betrag dieser Zahl, doch der ggT von null und null ist nicht definiert — es gibt keinen größten gemeinsamen Teiler — daher gibt der Rechner für diesen Fall kein Ergebnis aus. Ist eine der Eingaben null, wird das kgV als null ausgegeben.