Fall 1
- Trägheitsmoment um den Schwerpunkt (kg·m²)
- 2kg·m²
- Masse des Körpers (kg)
- 5kg
- Abstand zwischen den beiden Achsen (m)
- 3m
47,00kg·m²
Mit diesen Werten öffnenSteiner-Satz-Rechner
47,00kg·m²
Ergebnis: 47,00 kg·m²Verschiebst du die Achse vom Schwerpunkt weg, wächst das Trägheitsmoment um m × d²: 2 kg·m² plus 5 kg in 3 m Abstand ergeben 47 kg·m². Der Abstand wird zwischen den beiden parallelen Achsen gemessen, nicht bis zum Rand des Körpers. Weil d quadriert eingeht, hat die Schwerpunktachse immer den kleinsten Wert.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Trägheitsmoment um den Schwerpunkt (kg·m²)
- 0kg·m²
- Masse des Körpers (kg)
- 10kg
- Abstand zwischen den beiden Achsen (m)
- 2m
40,00kg·m²
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Trägheitsmoment um den Schwerpunkt (kg·m²)
- 100kg·m²
- Masse des Körpers (kg)
- 50kg
- Abstand zwischen den beiden Achsen (m)
- 10m
5.100,00kg·m²
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
I = I_S + m × d²
- SchrittDas Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse eintragen.
- SchrittDie gesamte Masse des Körpers eintragen.
- SchrittEintragen, wie weit die neue Achse von der Schwerpunktachse entfernt liegt.
- ErgebnisDas Trägheitsmoment um die neue Achse ablesen; es ist nie kleiner als I_S.
Referenztabelle
| I_S, Masse, Abstand | Was die Zeile zeigt | Trägheitsmoment |
|---|---|---|
| 5, 3, 0 | Die Achsen fallen zusammen, nichts kommt dazu | 5 |
| 1,5, 2, 4 | Leichter Körper, weit hinausgeschoben | 33,5 |
| 0, 10, 2 | Reine Punktmasse, 2 m außerhalb | 40 |
| 2, 5, 3 | Das durchgerechnete Beispiel | 47 |
| 2, 5, 6 | Doppelter Abstand, vierfacher m·d²-Term | 182 |
| 100, 50, 10 | Schwerer Körper, weit von der Achse | 5100 |
Fragen
Was ist der Satz von Steiner?
Er liefert das Trägheitsmoment um jede Achse, die parallel zu einer Achse durch den Schwerpunkt verläuft: I = I_S + m × d². Dabei ist m die Masse und d der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Achsen.
Welchen Abstand trage ich ein?
Den senkrechten Abstand zwischen der neuen Achse und der parallelen Achse durch den Schwerpunkt — nicht den Abstand zu einer Kante oder Ecke. Die beiden Achsen müssen wirklich parallel sein, sonst gilt der einfache Satz nicht.
Woher bekomme ich das Trägheitsmoment um den Schwerpunkt?
Das trägst du selbst ein, denn es hängt von der Form ab. Eine Punktmasse oder ein dünner Ring ist mr², eine Vollscheibe ½mr², eine Vollkugel ⅖mr², ein Stab um seine Mitte 1/12 mL².
Warum steigt das Trägheitsmoment beim Verschieben immer?
Der zusätzliche Term m × d² ist nie negativ, denn die Masse ist positiv und der Abstand wird quadriert. Die Schwerpunktachse ist deshalb für jede Richtung die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment.
Was passiert bei einem Abstand von null?
Die beiden Achsen fallen zusammen, der Term m × d² verschwindet und das Ergebnis ist unverändert I_S. Das ist die fünfte Zeile der Tabelle oben.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.