Fall 1
- Seite a
- 10
- Winkel A, gegenüber Seite a
- 30°
- Winkel B, gegenüber Seite b
- 45°
14,1421
Mit diesen Werten öffnenSinussatz: unbekannte Seite berechnen
14,1421Einheiten
Ergebnis: 14,1421 EinheitenJede Dreiecksseite steht im selben Verhältnis zum Sinus ihres Gegenwinkels, also b = a × sin B ÷ sin A. Eine Seite von 10 gegenüber 30°, mit 45° gegenüber der gesuchten Seite, ergibt 10√2 — rund 14,142. Die beiden Winkel müssen zusammen unter 180° bleiben.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Seite a 10,000, Winkel A, gegenüber Seite a 30,00 °.
| Winkel B, gegenüber Seite b (°) | Ergebnis |
|---|---|
| 20,00 | 6,8404 |
| 40,00 | 12,8558 |
| 45,00Dein Wert | 14,1421 |
| 60,00 | 17,3205 |
| 80,00 | 19,6962 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Seite a
- 7
- Winkel A, gegenüber Seite a
- 40°
- Winkel B, gegenüber Seite b
- 60°
9,4311
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Seite a
- 8
- Winkel A, gegenüber Seite a
- 60°
- Winkel B, gegenüber Seite b
- 90°
9,2376
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
b = a × sin B ÷ sin A
- SchrittDie bekannte Seite a und ihren Gegenwinkel A eintragen.
- SchrittWinkel B eintragen — den Gegenwinkel der gesuchten Seite.
- ErgebnisSeite b ablesen; A und B müssen zusammen unter 180° bleiben.
Was die Zahl bedeutet
Eingetragen wird in Grad, nicht im Bogenmaß
Für dreißig Grad also 30 eintippen; die Umrechnung ins Bogenmaß steckt in der Formel. Jeder Winkel muss über 0° und unter 180° liegen.
A und B müssen zusammen unter 180° bleiben
Für den dritten Winkel bleibt nur der Rest auf 180°, bei A + B ≥ 180° gibt es also überhaupt kein Dreieck. Die Formel liefert weiter ein Verhältnis, doch diese Zahl ist keine Seite.
Der zweideutige SSW-Fall tritt hier nicht auf
Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel passen auf zwei verschiedene Dreiecke, weil der Arkussinus nur den spitzen Winkel zurückgibt und den stumpfen Zwilling stillschweigend unterschlägt. Dieser Rechner geht von einer Seite und zwei Winkeln aus, und das legt genau ein Dreieck fest — er muss also nie wählen.
Gleiche Winkel, gleiche Seiten
Bei A = B kürzen sich die beiden Sinus weg und Seite b kommt gleich Seite a heraus: 12 hinein, 12 heraus bei 35° und 35°. So fällt das gleichschenklige Dreieck in einer Zeile aus dem Verhältnis heraus.
Häufig falsch verstanden
Winkel A darf irgendein Winkel des Dreiecks sein.
A muss der Gegenwinkel der eingetragenen Seite a sein und B der Gegenwinkel der gesuchten Seite. Paart man eine Seite mit dem falschen Winkel, gehört das Ergebnis zu keinem Dreieck.
Für 30° trägt man 0,5236 ein, der Sinus braucht ja Bogenmaß.
Eingetragen wird 30. Die Umrechnung ins Bogenmaß passiert bereits in der Formel, 0,5236 läse der Rechner als gut ein halbes Grad.
A = 120° und B = 70° geht schon — es kommt ja eine Zahl heraus.
Die beiden ergeben zusammen 190°, für den dritten Winkel bleibt nichts, ein solches Dreieck existiert nicht. Zurück kommt ein nacktes Verhältnis, keine Seitenlänge.
Referenztabelle
| Seite a und Winkel A, B | Exakt | Seite b |
|---|---|---|
| 5, 90, 30 | 5 ÷ 2 | 2,5000 |
| 7, 40, 60 | 7·sin 60° ÷ sin 40° | 9,4311 |
| 8, 60, 90 | 16 ÷ √3 | 9,2376 |
| 10, 30, 45 | 10√2 | 14,1421 |
| 10, 30, 60 | 10√3 | 17,3205 |
| 12, 35, 35 | gleiche Winkel, gleiche Seiten | 12,0000 |
Fragen
Wie finde ich eine Seite mit dem Sinussatz?
Über das Verhältnis b ÷ sin B = a ÷ sin A, umgestellt zu b = a × sin B ÷ sin A. Die bekannte Seite a, ihren Gegenwinkel A und den Winkel B gegenüber der gesuchten Seite eintragen. Eine Seite von 10 mit A = 30° und B = 45° ergibt 10 × sin 45° ÷ sin 30° ≈ 14,142.
Grad oder Bogenmaß?
Grad — die Umrechnung ins Bogenmaß steckt in der Formel. Jeder Winkel muss größer als 0° und kleiner als 180° sein.
Was passiert, wenn beide Winkel zusammen 180° oder mehr ergeben?
Dann gibt es kein Dreieck, weil für den dritten Winkel nichts übrig bleibt. Die Formel liefert trotzdem ein Verhältnis, aber diese Zahl ist keine Dreiecksseite. A + B muss unter 180° bleiben.
Wann nutze ich den Sinussatz statt des Kosinussatzes?
Den Sinussatz, wenn ein Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite bekannt sind, dazu ein weiterer Winkel oder eine weitere Seite. Den Kosinussatz, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten bekannt sind — dort liegt keine Seite einem bekannten Winkel gegenüber.
Was ist der mehrdeutige SSW-Fall?
Sind zwei Seiten und ein Winkel bekannt, der nicht zwischen ihnen liegt, lässt der Sinussatz null, ein oder zwei Dreiecke zu. Dieser Rechner umgeht die Mehrdeutigkeit, weil er von einer Seite und zwei Winkeln ausgeht, und das legt stets genau ein Dreieck fest.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.