Fall 1
- Kathete a
- 3
- Kathete b
- 4
5,0000
Mit diesen Werten öffnenSatz des Pythagoras: Hypotenuse berechnen
5,0000Einheiten
Ergebnis: 5,0000 EinheitenBeide Katheten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen: c = √(a² + b²). Katheten von 3 und 4 ergeben genau 5 — das Maß, mit dem Handwerker eine Ecke auf Rechtwinkligkeit prüfen. Die Katheten in einer Längeneinheit eintragen; die Hypotenuse kommt in derselben heraus.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Kathete a 3,000.
| Kathete b | Ergebnis |
|---|---|
| 1,000 | 3,1623 |
| 2,000 | 3,6056 |
| 3,000 | 4,2426 |
| 4,000Dein Wert | 5,0000 |
| 5,000 | 5,8310 |
| 6,000 | 6,7082 |
| 7,000 | 7,6158 |
| 8,000 | 8,5440 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Kathete a
- 5
- Kathete b
- 12
13,0000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Kathete a
- 1
- Kathete b
- 1
1,4142
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
c = √(a² + b²)
- SchrittDie beiden Katheten messen — die Seiten am rechten Winkel.
- SchrittBeide in derselben Längeneinheit eintragen.
- ErgebnisDie Hypotenuse ablesen, die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Was die Zahl bedeutet
Nur im rechtwinkligen Dreieck
Der Satz gilt ausschließlich dort, wo zwei Seiten exakt im 90°-Winkel zusammentreffen. Fehlt diese Ecke, ist a² + b² = c² schlicht falsch, und zuständig ist der Kosinussatz.
Die Hypotenuse steht allein auf ihrer Seite
c liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist stets die längste der drei Seiten, gehört in a² + b² = c² also für sich allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens. Eingetragen werden die beiden Katheten, die den rechten Winkel bilden.
6-8-10 ist das verdoppelte 3-4-5
Jedes Vielfache eines pythagoreischen Tripels ist wieder eines, deshalb ergeben Katheten von 6 und 8 genau 10. Nur darum lässt sich die 3-4-5-Probe des Handwerkers auf jede vorhandene Bandmaßlänge strecken.
Gesucht ist eine Kathete?
Dieser Rechner liefert die Hypotenuse; für eine Kathete stellt man von Hand um: a = √(c² − b²). Mit c = 13 und b = 12 bleibt √25 = 5, das dritte Glied des Tripels 5-12-13.
Häufig falsch verstanden
Katheten von 3 und 4 ergeben eine Hypotenuse von 7.
Das addiert die Katheten selbst statt ihrer Quadrate. Erst quadrieren, zu 25 addieren, dann die Wurzel ziehen: c = 5.
Jedes Dreieck mit den Seiten 5 und 12 hat eine dritte Seite von 13.
Nur wenn diese beiden Seiten im rechten Winkel aufeinandertreffen. Ohne die 90°-Ecke hängt die dritte Seite vom Winkel zwischen ihnen ab, und den verarbeitet der Kosinussatz.
Die längste Seite trägt man als Kathete a ein.
Die längste Seite ist die Hypotenuse, und die ist hier das Ergebnis, keine Eingabe. In die beiden Felder gehören die kürzeren Seiten, die den rechten Winkel aufspannen.
Referenztabelle
| Katheten a, b | Exakt | Hypotenuse |
|---|---|---|
| 1, 1 | √2 | 1,4142 |
| 3, 4 | √25 | 5,0000 |
| 5, 12 | √169 | 13,0000 |
| 6, 8 | √100 | 10,0000 |
| 8, 15 | √289 | 17,0000 |
Fragen
Was ist der Satz des Pythagoras?
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten: a² + b² = c². Nach der längsten Seite umgestellt: c = √(a² + b²). Katheten von 3 und 4 ergeben √25 = 5.
Funktioniert das bei jedem Dreieck?
Nein — der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten exakt im 90°-Winkel zusammentreffen. Ohne rechten Winkel übernimmt der Kosinussatz, der bei 90° genau auf diesen Satz zurückfällt.
Was sind pythagoreische Tripel?
Tripel sind drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² genau erfüllen, sodass die Hypotenuse ganzzahlig herauskommt. Die häufigsten sind 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eines: 6-8-10 ist 3-4-5 verdoppelt.
Wofür wird der Satz des Pythagoras verwendet?
Überall dort, wo ein rechter Winkel auf eine Diagonale trifft: beim Prüfen, ob eine Wand oder ein Fundament rechtwinklig ist, beim Ermitteln der Bildschirmdiagonale aus Breite und Höhe, beim Dimensionieren von Rampen, Sparren und Streben. Zwei senkrechte Strecken liefern immer die dritte.
In welcher Einheit steht das Ergebnis?
In der eingetragenen. Beide Katheten müssen dieselbe Einheit benutzen, und die Hypotenuse kommt in genau dieser zurück — Zentimeter hinein, Zentimeter heraus.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.