Fall 1
- Wert x
- 1000
- Basis b
- 10
3,000000
Mit diesen Werten öffnenLogarithmus-Rechner
3,000000
Ergebnis: 3,000000Ein Logarithmus beantwortet eine Frage: Mit welcher Potenz muss die Basis potenziert werden, um deinen Wert zu erreichen? Weil 10³ = 1000 ist, ist der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 gleich 3. Jede Basis geht — der Rechner teilt ln(Wert) durch ln(Basis), das ist die Basiswechselregel.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Wert x 1.000,000000.
| Basis b | Ergebnis |
|---|---|
| 2,500000 | 7,538825 |
| 5,000000 | 4,292030 |
| 7,500000 | 3,428331 |
| 10,000000Dein Wert | 3,000000 |
| 12,500000 | 2,734955 |
| 15,000000 | 2,550822 |
| 17,500000 | 2,413442 |
| 20,000000 | 2,305865 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Wert x
- 8
- Basis b
- 2
3,000000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Wert x
- 50
- Basis b
- 5
2,430677
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)
- SchrittDen Wert eintragen, dessen Logarithmus du suchst; er muss positiv sein.
- SchrittDie Basis eintragen — üblich sind 10 und 2, e ≈ 2,71828 ergibt ln.
- ErgebnisDen Exponenten ablesen, der die Basis in deinen Wert verwandelt.
Was die Zahl bedeutet
Die Umkehrung des Potenzierens
log_b(x) fragt, welcher Exponent die Basis in deinen Wert verwandelt. Weil 10³ = 1000 ist, ist der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 gleich 3, und weil 2⁵ = 32 ist, ist der von 32 zur Basis 2 gleich 5.
Die Basis ist ein Feld, keine feste Einstellung
Basis 10 ist der Zehnerlogarithmus hinter pH-Wert, Dezibel und Richterskala, Basis 2 gehört zur Informatik, und e ≈ 2,71828 liefert den natürlichen Logarithmus ln. Jede andere positive Basis läuft über die Basiswechselregel ln(x) ÷ ln(b).
Basis 1 ist nicht definiert
Die Basiswechselregel teilt durch ln(Basis), und ln(1) ist null. Basis 1 könnte zudem nur 1 erzeugen, deshalb lässt der Rechner das Ergebnis dort leer.
Null und negative Werte haben keinen Logarithmus
Keine reelle Potenz einer positiven Basis ergibt jemals null oder eine negative Zahl. Die Kurve fällt ohne Grenze, je näher der Wert an null rückt — trag einen beliebigen Wert über null ein, egal wie klein.
Häufig falsch verstanden
log₁₀(1000) und ln(1000) sind dieselbe Zahl.
Es ist derselbe Wert zu zwei verschiedenen Basen gelesen: log₁₀(1000) ist 3, ln(1000) dagegen 6,907755.
Eine Zahl unter 1 hat keinen Logarithmus.
Doch: log₂(0,5) ist −1, denn 2 hoch −1 ergibt 0,5. Erst null und negative Werte liegen außerhalb des reellen Logarithmus.
Basis 1 gibt einfach den Wert selbst zurück.
Basis 1 ist nicht definiert, denn die Basiswechselregel würde durch ln(1) = 0 teilen. Der Rechner zeigt dort kein Ergebnis.
Eine krumme Basis wie 5 braucht eine eigene Funktion.
Die Basiswechselregel deckt sie ab: 3,912023 ÷ 1,609438 setzt 50 zur Basis 5 auf 2,430677.
Referenztabelle
| Wert, Basis | Natürlicher Logarithmus ln(x) | Logarithmus |
|---|---|---|
| 0,5, 2 | -0,693147 | -1 |
| 7, 7 | 1,945910 | 1 |
| 8, 2 | 2,079442 | 3 |
| 27, 3 | 3,295837 | 3 |
| 50, 5 | 3,912023 | 2,430677 |
| 100, 10 | 4,605170 | 2 |
| 1000, 10 | 6,907755 | 3 |
Fragen
Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus ist der Exponent, der eine Basis in eine gegebene Zahl verwandelt. log_b(x) fragt: Mit welcher Potenz muss ich b potenzieren, um x zu erhalten? Er ist die Umkehrung des Potenzierens — weil 2⁵ = 32 ist, ist der Logarithmus von 32 zur Basis 2 gleich 5.
Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis?
Nutze die Basiswechselregel: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b). Nimm den natürlichen Logarithmus des Werts, nimm den natürlichen Logarithmus der Basis und teile. Für Basis 10 und 1000 sind das 6,907755 ÷ 2,302585 = 3, weil 10³ = 1000 ist.
Was ist der natürliche Logarithmus (ln)?
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828, geschrieben ln(x). Trag e als Basis ein, und dieser Rechner liefert genau ihn; die mittlere Spalte der Tabelle oben zeigt ln für jede Zeile. Natürliche Logarithmen ziehen sich durch Wachstum, Zerfall und Analysis, weil e eine einzigartig einfache Änderungsrate hat.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Die Basiswechselregel teilt durch ln(Basis), und ln(1) ist null — Basis 1 hieße also Division durch null. Basis 1 könnte zudem nur 1 erzeugen, es gibt dort keinen Exponenten zu finden. Der Rechner lässt das Ergebnis dann leer.
Warum muss der Wert positiv sein?
Keine reelle Potenz einer positiven Basis ergibt jemals null oder eine negative Zahl, deshalb existiert der Logarithmus solcher Werte unter den reellen Zahlen nicht. Die Kurve fällt ohne Grenze, je näher der Wert an null rückt. Trag einen beliebigen Wert über null ein, egal wie klein.
Was sind die häufigsten Basen?
Basis 10 ist der Zehnerlogarithmus, hinter pH-Wert, Dezibel und Richterskala. Basis 2 gehört zu Informatik und Informationstheorie, und Basis e ≈ 2,71828 ist der natürliche Logarithmus. Dieser Rechner deckt alle drei und jede andere positive Basis mit derselben Formel ab.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.