Fall 1
- Standardabweichung (σ)
- 15
- Stichprobengröße (n)
- 30
- Kritischer z-Wert (z)
- 1.96
5,3677
Mit diesen Werten öffnenKonfidenzintervall-Rechner
5,3677
Ergebnis: 5,3677Das Intervall ist dein Stichprobenmittel plus und minus eine einzige Zahl, und genau die liefert dieser Rechner. Bei einer Standardabweichung von 15, einer Stichprobe von 30 und z = 1,96 sind das 5,3677: Aus einem Mittel von 100 wird 94,6323 bis 105,3677.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Standardabweichung (σ) 15,0000, Stichprobengröße (n) 30.
| Kritischer z-Wert (z) | Ergebnis |
|---|---|
| 1,000 | 2,7386 |
| 1,500 | 4,1079 |
| 1,960Dein Wert | 5,3677 |
| 2,000 | 5,4772 |
| 2,500 | 6,8465 |
| 3,000 | 8,2158 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Standardabweichung (σ)
- 10
- Stichprobengröße (n)
- 100
- Kritischer z-Wert (z)
- 1.96
1,9600
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Standardabweichung (σ)
- 3.2
- Stichprobengröße (n)
- 16
- Kritischer z-Wert (z)
- 2.576
2,0608
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
E = z × σ ÷ √n, Intervall = x̄ ± E
- SchrittDie Standardabweichung der Grundgesamtheit oder Stichprobe eintragen.
- SchrittEintragen, wie viele Beobachtungen die Stichprobe umfasst.
- SchrittDen z-Wert des Konfidenzniveaus eintragen: 1,645, 1,96 oder 2,576.
- ErgebnisDie Marge zum Stichprobenmittel addieren und abziehen — das ist das Intervall.
Was die Zahl bedeutet
Die 95 % gelten dem Verfahren, nicht diesem Intervall
Bei vielfacher Wiederholung der Ziehung würden rund 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Mittelwert einschließen. Es heißt nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall liegt.
Ausgegeben wird die Marge, nicht die Grenzen
Der Rechner liefert E; das Intervall ist dein Stichprobenmittel plus und minus diese Zahl. Ein Mittel von 100 mit einer Marge von 5,3677 reicht von 94,6323 bis 105,3677.
Sicherheit wird in Breite bezahlt
Ein höheres Konfidenzniveau nutzt ein größeres z: 1,645 bei 90 %, 1,96 bei 95 %, 2,576 bei 99 %. Bei σ = 15 und n = 30 wächst die Marge dadurch von 4,5050 über 5,3677 auf 7,0547.
Die z-Methode setzt bekanntes σ oder großes n voraus
Nimm z, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt oder die Stichprobe groß ist, etwa ab n ≥ 30. Bei kleiner Stichprobe mit unbekannter Standardabweichung ist die t-Verteilung genauer — dieser Rechner nutzt sie nicht.
Häufig falsch verstanden
Ein 95-%-Intervall enthält den wahren Mittelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit.
Die 95 % gehören dem Verfahren: Wiederholt man die Ziehung, fangen rund 95 % solcher Intervalle den wahren Wert ein. Dieses eine enthält ihn oder eben nicht.
Die doppelte Stichprobe halbiert die Fehlermarge.
Die Marge teilt σ durch √n, für die Hälfte braucht es also die vierfache Stichprobe. Von n = 30 auf n = 60 sinkt eine Marge von 5,3677 nur auf 3,7955.
Für die Fehlermarge muss man das Stichprobenmittel eintragen.
In E = z × σ ÷ √n kommt kein Mittelwert vor, deshalb gibt es dafür kein Feld. Der Mittelwert kommt erst ins Spiel, wenn du die Marge um ihn herum legst.
Referenztabelle
| σ, n, z | Konfidenzniveau | Fehlermarge |
|---|---|---|
| 15, 30, 1,645 | 90 % | 4,5050 |
| 15, 30, 1,96 | 95 % | 5,3677 |
| 15, 30, 2,576 | 99 % | 7,0547 |
| 10, 100, 1,96 | 95 %, größere Stichprobe | 1,9600 |
| 3,2, 16, 2,576 | 99 %, kleine Stichprobe | 2,0608 |
Fragen
Wie berechne ich ein Konfidenzintervall?
Bestimme die Fehlermarge E = z × σ ÷ √n und ziehe sie vom Stichprobenmittel ab beziehungsweise addiere sie: Das Intervall ist x̄ ± E. Ein Mittel von 100 mit σ = 15, n = 30 und z = 1,96 ergibt eine Marge von 5,3677 und ein Intervall von 94,6323 bis 105,3677.
Welchen kritischen z-Wert sollte ich verwenden?
Der z-Wert folgt aus dem Konfidenzniveau: 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Ein höheres Niveau nutzt ein größeres z und verbreitert das Intervall — du tauschst Präzision gegen Sicherheit.
Was ist ein Konfidenzintervall?
Es ist ein Wertebereich um eine Stichprobenschätzung, der den wahren Wert der Grundgesamtheit wahrscheinlich enthält. Ein 95-%-Intervall heißt: Bei vielfacher Wiederholung der Ziehung würden rund 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Mittelwert einschließen.
Wie mache ich das Intervall enger?
Erhöhe die Stichprobengröße: Die Marge teilt σ durch √n, eine Vervierfachung der Stichprobe halbiert sie also ungefähr. Auch ein niedrigeres Konfidenzniveau oder weniger Streuung in den Daten verkleinern sie.
Wann nehme ich stattdessen einen t-Wert?
Nimm z, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt oder die Stichprobe groß ist, etwa ab n ≥ 30. Bei einer kleinen Stichprobe mit unbekannter Standardabweichung ist die t-Verteilung genauer, weil ihre Ränder schwerer sind. Dieser Rechner nutzt die z-Methode.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.