Fall 1
- Realteil a
- 3
- Imaginärteil b
- 4
5,00000
Mit diesen Werten öffnenBetrag-einer-komplexen-Zahl-Rechner
5,00000
Ergebnis: 5,00000Der Betrag ist der Abstand des Punktes a + bi vom Ursprung: |z| = √(a² + b²). Für 3 + 4i sind das √25 = 5. Er ist nie negativ, und alle vier Vorzeichenkombinationen von 3 und 4 ergeben dieselbe 5 — der Betrag kennt den Abstand, nicht die Richtung.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Realteil a 3,0000.
| Imaginärteil b | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | 3,00000 |
| 1,0000 | 3,16228 |
| 2,0000 | 3,60555 |
| 3,0000 | 4,24264 |
| 4,0000Dein Wert | 5,00000 |
| 5,0000 | 5,83095 |
| 6,0000 | 6,70820 |
| 7,0000 | 7,61577 |
| 8,0000 | 8,54400 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Realteil a
- 1
- Imaginärteil b
- 1
1,41421
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Realteil a
- -3
- Imaginärteil b
- -4
5,00000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
|z| = √(a² + b²)
- SchrittDen Realteil a eintragen — die waagerechte Koordinate des Punktes.
- SchrittDen Imaginärteil b eintragen, die Zahl vor dem i.
- ErgebnisDen Abstand vom Ursprung ablesen; die Tabelle nennt auch den Winkel.
Referenztabelle
| a, b | Argument | Betrag |z| |
|---|---|---|
| 0, 0 | 0° (undefiniert, als null gezeigt) | 0,00000 |
| 0, -1 | -90° | 1,00000 |
| -1, 0 | 180° | 1,00000 |
| 1, 1 | 45° | 1,41421 |
| 3, 4 | 53,130° | 5,00000 |
| 3, -4 | -53,130° | 5,00000 |
| -3, 4 | 126,870° | 5,00000 |
| 0, 5 | 90° | 5,00000 |
| 6, 8 | 53,130° | 10,00000 |
Fragen
Wie berechne ich den Betrag einer komplexen Zahl?
Real- und Imaginärteil quadrieren, addieren, die Wurzel ziehen: |z| = √(a² + b²). Für z = 3 + 4i sind das √(9 + 16) = √25 = 5. Der Betrag ist nie negativ — er ist der Abstand des Punktes a + bi vom Ursprung der komplexen Ebene.
Ist der Betrag dasselbe wie der Absolutbetrag?
Ja. Der Betrag ist der Absolutbetrag einer komplexen Zahl, geschrieben |z|, und verallgemeinert den Absolutbetrag einer reellen Zahl. Eine reelle Zahl hat b = 0, also |z| = √(a²) = |a|, genau der bekannte Fall.
Wie hängt das mit der Länge eines Vektors zusammen?
Es ist dieselbe Rechnung. Der Punkt a + bi ist der Vektor (a, b), und √(a² + b²) ist seine Länge — der Satz des Pythagoras. Der Vektorbetrag-Rechner macht dieselbe Arithmetik mit einer dritten Achse dazu.
Was ist das Argument einer komplexen Zahl?
Das Argument ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und der Linie vom Ursprung zu a + bi, berechnet als atan2(b, a) und hier in Grad angegeben. Für 3 + 4i sind das rund 53,130°. Die Tabelle oben führt es neben dem Betrag jeder Zeile.
Warum ergeben alle vier Vorzeichenkombinationen 5?
Beide Teile werden vor dem Addieren quadriert, ein Minuszeichen verschwindet dabei. Deshalb teilen sich 3 + 4i, −3 + 4i, −3 − 4i und 3 − 4i den Betrag 5. Was sich ändert, ist das Argument, das dem Quadranten folgt: 53,130°, 126,870°, −126,870° und −53,130°.
Wie lauten Betrag und Argument von null?
Für z = 0 + 0i ist der Betrag 0, denn der Punkt liegt im Ursprung. Das Argument ist dort mathematisch undefiniert — es gibt keine Richtung — und die Tabelle gibt es per Konvention als 0° an, statt eine Lücke zu lassen.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.