Fall 1
- Zahl n
- 5
120
Mit diesen Werten öffnenFakultät-Rechner
120
Ergebnis: 120n! multipliziert jede ganze Zahl von 1 bis n, 5! sind also 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Die Zahl zählt die Anordnungen von n verschiedenen Dingen: fünf Läufer können auf 120 Arten ins Ziel kommen. Per Definition ist 0! gleich 1.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Zahl n
- 10
3.628.800
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Zahl n
- 20
2.432.902.008.176.640.000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
n! = 1 × 2 × 3 × … × n
- SchrittEine ganze Zahl von 0 bis 21 eintragen.
- SchrittJede ganze Zahl von 1 bis n wird miteinander multipliziert.
- ErgebnisDas Ergebnis ist zugleich die Zahl der Anordnungen von n Dingen.
Referenztabelle
| n | Gelesen als | n! |
|---|---|---|
| 0 | die leere Anordnung | 1 |
| 1 | ein Ding, eine Reihenfolge | 1 |
| 5 | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 | 120 |
| 10 | Anordnungen von zehn Dingen | 3628800 |
| 13 | über sechs Milliarden | 6227020800 |
| 20 | über zwei Trillionen | 2432902008176640000 |
| 21 | die letzte, die eine Gleitkommazahl exakt druckt | 51090942171709440000 |
Fragen
Was ist eine Fakultät?
Eine Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n, geschrieben n!, gesprochen „n Fakultät“ — fünf Fakultät sind also 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Sie zählt die Möglichkeiten, n verschiedene Elemente der Reihe nach anzuordnen, und taucht deshalb in Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinationen und Permutationen überall auf.
Warum ist 0! gleich 1?
Es gibt genau eine Möglichkeit, eine leere Menge anzuordnen — die leere Anordnung —, also ist die Anzahl 1 und nicht 0. Außerdem bleiben die Formeln so stimmig: Die Regel „n Fakultät = n × (n − 1) Fakultät“ macht aus eins Fakultät das Produkt 1 × null Fakultät, und das geht nur auf, wenn null Fakultät gleich 1 ist.
Was zählen Fakultäten eigentlich?
Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, n unterschiedliche Dinge in eine Reihe zu bringen. Drei Bücher haben sechs mögliche Reihenfolgen im Regal, fünf Läufer 120 mögliche Zieleinläufe.
Wie schnell wachsen Fakultäten?
Schneller als jede Exponentialfunktion. Fünf Fakultät sind nur 120, aber zehn Fakultät schon 3.628.800 und zwanzig Fakultät über 2,4 Trillionen. Jeder Schritt multipliziert mit der nächsten ganzen Zahl, deshalb explodiert der Wert.
Warum endet der Rechner bei 21!?
Weil 22 Fakultät die erste ist, die eine übliche Computerzahl nicht mehr Ziffer für Ziffer hinschreiben kann: sie druckt sich als 1.124.000.727.777.607.700.000, während der wahre Wert auf 680.000 endet. Größere Fakultäten brauchen beliebig genaue Arithmetik, deshalb hört der Rechner dort auf, wo jede gedruckte Ziffer noch stimmt.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.