Fall 1
- Anzahl verschiedener Werte (N)
- 1000
10bit
Mit diesen Werten öffnenBenötigte-Bits-Rechner
10Bit
Ergebnis: 10 BitBits = ⌈log₂N⌉, immer aufgerundet, denn 9,97 Bit gibt es nicht. Für 1000 Werte brauchst du 10 Bit: 9 Bit decken nur 512 Muster ab, 10 Bit decken 1024 ab. Ein einzelner Wert braucht 0 Bit.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Anzahl verschiedener Werte (N)
- 256
8bit
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Anzahl verschiedener Werte (N)
- 1025
11bit
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
Bits = ⌈log₂N⌉
- SchrittEintragen, wie viele verschiedene Werte du unterscheiden musst.
- SchrittDer Logarithmus zur Basis 2 sagt, wie viele Bit das kostet.
- ErgebnisDas Ergebnis wird aufgerundet, denn Bits gibt es nur ganz.
Was die Zahl bedeutet
Das Aufrunden ist die ganze Rechnung
log₂1000 ergibt 9,97, und 0,97 Bit gibt es nicht. Die Antwort lautet 10, denn 9 Bit beschriften nur 512 Muster.
n Bit fassen 2ⁿ Werte
Ein Bit deckt 2 Werte ab, 8 Bit decken 256 ab und 10 Bit decken 1024 ab. Zählt man ab null, ist der größte Wert, den n Bit tragen, 2ⁿ − 1.
N ist die Anzahl der Werte, nicht der größte
Die ganzen Zahlen 0 bis 999 sind 1000 Werte und brauchen 10 Bit. Kennst du nur den größten Wert M und zählst ab null, trag M + 1 ein.
Ein Wert zu viel kostet ein ganzes Bit
1024 Werte passen noch in 10 Bit, 1025 brauchen 11. Der Sprung kommt direkt hinter jeder Zweierpotenz.
Häufig falsch verstanden
9,97 Bit werden auf die nächstliegende ganze Zahl gerundet.
Immer nach oben. Beim Abrunden bliebe ein Teil der Werte ohne eigenes Muster.
Ein einzelner Wert braucht trotzdem ein Bit.
Er braucht keines, denn log₂1 ist 0 und es gibt nichts, wovon er zu unterscheiden wäre. Nötig werden Bits erst ab zwei Werten.
Doppelt so viele Werte kosten doppelt so viele Bit.
Verdoppeln kostet genau ein Bit mehr. 512 Werte brauchen 9 Bit, 1024 brauchen 10.
Referenztabelle
| Werte (N) | Nächste Zweierpotenz | Bit |
|---|---|---|
| 1 | nichts zu unterscheiden | 0 |
| 2 | genau 2¹ | 1 |
| 3 | über 2¹ | 2 |
| 16 | genau 2⁴ | 4 |
| 100 | über 2⁶ | 7 |
| 256 | genau 2⁸ | 8 |
| 1000 | über 2⁹ | 10 |
| 1024 | genau 2¹⁰ | 10 |
| 1025 | über 2¹⁰ | 11 |
Fragen
Wie viele Bit brauche ich für N Werte?
Nimm den Logarithmus zur Basis 2 von N und runde auf: Bits = ⌈log₂N⌉. Für 1000 verschiedene Werte sind das ⌈9,97⌉ = 10 Bit, denn 9 Bit decken nur 512 Muster ab, 10 Bit aber 1024.
Warum wird aufgerundet statt abgerundet?
Bits gibt es nur in ganzen Einheiten — 9,97 Bit kannst du nicht speichern. Beim Abrunden blieben Werte ohne eindeutiges Muster. Nur wenn N eine exakte Zweierpotenz ist, kommt der Logarithmus glatt heraus.
Wie viele Werte können n Bit darstellen?
Genau 2ⁿ. Ein Bit deckt 2 Werte ab, 8 Bit decken 256 ab, 10 Bit decken 1024 ab. Jedes weitere Bit verdoppelt die Anzahl — deshalb wächst die Bitzahl langsam, auch wenn die Wertemenge explodiert.
Warum braucht 1 Wert 0 Bit?
Bei einem einzigen möglichen Wert gibt es nichts, wovon man ihn unterscheiden müsste, und log₂1 ist 0. Bits brauchst du erst ab zwei Werten, die auseinanderzuhalten sind.
Ist N die Anzahl der Werte oder die größte Zahl?
Die Anzahl verschiedener Werte. Für die ganzen Zahlen 0 bis 999 sind das 1000 Werte, also ⌈log₂1000⌉ = 10 Bit. Kennst du nur den größten Wert M und zählst ab 0, trag M + 1 ein.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.