Fall 1
- P(A∩B) — beide Ereignisse zusammen
- 0.2
- P(B) — das Ereignis, auf das du bedingst
- 0.5
0,4000
Mit diesen Werten öffnenRechner für bedingte Wahrscheinlichkeit
0,4000
Ergebnis: 0,4000Das Wissen, dass B eingetreten ist, schrumpft die Welt auf die Fälle mit B — die gemeinsame Wahrscheinlichkeit wird deshalb an P(B) skaliert. Trag beide Werte als Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 ein. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann nie größer als P(B) sein, denn jeder Fall mit A und B ist auch ein Fall mit B.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- P(A∩B) — beide Ereignisse zusammen
- 0.1
- P(B) — das Ereignis, auf das du bedingst
- 0.4
0,2500
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- P(A∩B) — beide Ereignisse zusammen
- 0.12
- P(B) — das Ereignis, auf das du bedingst
- 0.3
0,4000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)
- SchrittDie Wahrscheinlichkeit eintragen, dass A und B zusammen eintreten.
- SchrittDie Wahrscheinlichkeit von B allein eintragen. Sie muss größer als null sein.
- ErgebnisDie Chance auf A ablesen, sobald B bekannt ist.
Was die Zahl bedeutet
P(A|B) ist nicht P(B|A)
Vertauscht man beide, fragt man etwas anderes und bekommt in aller Regel eine andere Zahl. Der Weg von der einen zur anderen führt über den Satz von Bayes, der zusätzlich P(A) und P(B) braucht — diese Formel leistet das nicht.
Das Bedingen schrumpft den Ereignisraum
Das Wissen über B schränkt die Fälle auf jene ein, in denen B wahr ist, und die gemeinsame Wahrscheinlichkeit wird an P(B) skaliert. Mehr als diese Skalierung ist die Formel nicht.
P(A∩B) kann nicht größer als P(B) sein
Jeder Fall, in dem A und B zugleich eintreten, ist auch ein Fall mit B — deshalb liegt P(A∩B) höchstens bei P(B). Ein größerer Eintrag ergäbe ein Ergebnis über 1, was für eine Wahrscheinlichkeit unmöglich ist.
Dezimalzahlen eintragen, keine Prozente
Beide Felder laufen von 0 bis 1, eine Chance von 20 Prozent steht dort also als 0,2. Wer 20 und 50 statt 0,2 und 0,5 einträgt, liegt außerhalb des zulässigen Bereichs.
Häufig falsch verstanden
P(A|B) = 0,4 heißt: A und B treten in 40 Prozent der Fälle zusammen ein.
Das wäre die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, also die Eingabe selbst. 0,4 ist der Anteil der B-Fälle, in denen auch A gilt — 0,2 von 0,5.
Ist P(A|B) groß, muss auch P(B|A) groß sein.
Das sind zwei verschiedene Größen, die nur zufällig übereinstimmen. Der Satz von Bayes rechnet die eine in die andere um, mit P(A) und P(B).
Die Formel setzt voraus, dass A und B unabhängig sind.
Es ist umgekehrt: Die Definition gilt für zwei beliebige Ereignisse. Unabhängigkeit ist der Sonderfall, in dem P(A|B) gleich P(A) ist.
Referenztabelle
| P(A∩B), P(B) | Deutung | P(A|B) |
|---|---|---|
| 0, 0,5 | A tritt nie zusammen mit B ein | 0 |
| 0,1, 0,4 | A gilt in einem Viertel der B-Fälle | 0,25 |
| 0,12, 0,3 | Zwei Fünftel der B-Fälle | 0,4 |
| 0,2, 0,5 | Wieder zwei Fünftel, bei größerem B | 0,4 |
| 0,3, 0,6 | Die Hälfte der B-Fälle | 0,5 |
| 0,5, 0,5 | A tritt immer ein, wenn B eintritt | 1 |
Fragen
Wie berechne ich die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Teile die gemeinsame Wahrscheinlichkeit durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung: P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B). Gib beide Werte als Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 ein. Bei P(A∩B) = 0,2 und P(B) = 0,5 ist das Ergebnis 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, also eine Chance von 40 Prozent für A, wenn B bekannt ist.
Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist. Das Wissen über B schränkt den Ereignisraum auf die Fälle ein, in denen B wahr ist, sodass die Rechnung die gemeinsame Wahrscheinlichkeit an P(B) skaliert. Das Ergebnis liegt stets zwischen 0 und 1.
Warum muss P(B) größer als null sein?
Du kannst nicht auf ein Ereignis bedingen, das nie eintritt. Ist P(B) null, dann ist B unmöglich, und die Frage nach dem, was folgt, sobald B eingetreten ist, ergibt keinen Sinn. Die Formel teilt durch P(B), und eine Division durch null ist nicht definiert.
Warum darf P(A∩B) nicht größer als P(B) sein?
Das gemeinsame Ereignis ist eine Teilmenge von B: Jeder Fall, in dem A und B zugleich eintreten, ist auch ein Fall mit B. Daher kann P(A∩B) nie größer als P(B) sein. Eine größere gemeinsame Wahrscheinlichkeit ergäbe ein Ergebnis über 1, was für eine Wahrscheinlichkeit unmöglich ist.
Wie hängt das mit Unabhängigkeit zusammen?
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen über B nichts über A verrät, wenn also P(A|B) gleich P(A) ist. In diesem Fall zerfällt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit in P(A) × P(B). Weicht P(A|B) von P(A) ab, sind die Ereignisse abhängig und B verändert die Chance auf A.
Worin unterscheidet sich das vom Satz von Bayes?
Dieser Rechner nutzt die direkte Definition, für den Fall, dass du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit schon kennst. Der Satz von Bayes kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um und bestimmt P(A|B) aus P(B|A), P(A) und P(B), wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeit nicht gegeben ist. Beide beruhen auf derselben Definition.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.