Fall 1
- Mittlere Rate (λ)
- 3
- Anzahl der Ereignisse (k)
- 2
0,224042
Mit diesen Werten öffnenPoisson-Verteilung-Rechner
0,224042
Ergebnis: 0,224042Eine einzige Zahl beschreibt die ganze Verteilung: Die mittlere Rate λ ist Mittelwert und Varianz zugleich. Bei drei Anrufen je Stunde sind genau zwei und genau drei Anrufe gleich wahrscheinlich — je 0,224042 — und eine völlig ruhige Stunde kommt immer noch in 5 % der Fälle vor.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Mittlere Rate (λ)
- 2.5
- Anzahl der Ereignisse (k)
- 4
0,133602
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Mittlere Rate (λ)
- 5
- Anzahl der Ereignisse (k)
- 3
0,140374
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(X = k) = λᵏ × e^(−λ) ÷ k!
- SchrittDie mittlere Anzahl der Ereignisse in einem Intervall eintragen.
- SchrittDie genaue Anzahl eintragen, deren Wahrscheinlichkeit du suchst.
- ErgebnisDie Wahrscheinlichkeit für genau so viele Ereignisse ablesen.
Was die Zahl bedeutet
Die Poisson-Verteilung beschreibt Zählen: wie oft etwas in einem festen Fenster geschieht, wenn es viele Gelegenheiten dazu gibt und jede einzelne unwahrscheinlich ist — Anrufe je Stunde, Zerfälle je Sekunde, Tippfehler je Seite. Nützlich macht sie, dass eine einzige Zahl, die mittlere Rate λ, die ganze Verteilung festlegt. Die drei Teile der Formel tun je eine Sache: λᵏ gewichtet k Vorkommnisse, e^(−λ) normiert das Ganze, sodass sich die Wahrscheinlichkeiten aller Anzahlen zu 1 addieren, und k! teilt die Reihenfolgen wieder heraus — die k Ereignisse sind ununterscheidbar, als Folgen gezählt käme jeder Ausgang k!-mal vor. Mit den voreingestellten Werten ergeben λ = 3 und k = 2 damit 9 × e^(−3) ÷ 2 = 0,224042. In der Formel steckt eine Abkürzung: Der Schritt von k zu k + 1 multipliziert die Wahrscheinlichkeit mit λ ÷ (k + 1). Bei λ = 3 ist dieser Faktor auf dem Schritt von zwei auf drei genau 1 — deshalb stehen dort zweimal 0,224042, die Verteilung hat oben eine Ebene und keine Spitze. Was das Ergebnis nicht sagt, ist, wann im Intervall die Ereignisse fallen, und über ein anderes Intervall sagt es gar nichts: λ und k müssen sich auf dasselbe Fenster beziehen. Drei je Stunde und zwei je halbe Stunde ist keine Frage, die diese Formel beantwortet.
Zwei Annahmen fahren mit
Die Ereignisse müssen unabhängig eintreffen, und die Rate muss über das Intervall konstant bleiben. Kommen sie in Schüben oder verschiebt sich die Rate innerhalb des Intervalls, gilt die Zahl auf dieser Seite nicht.
Das ist P(X = k), nicht P(X ≤ k)
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse. Bei λ = 3 sind genau zwei 0,224042, höchstens zwei dagegen 0,423190.
Ein Parameter setzt Mittelwert und Streuung
λ ist Mittelwert und Varianz zugleich, eine eingebaute Eigenschaft der Verteilung. Ein größeres λ bedeutet deshalb zugleich eine höhere Anzahl und eine breitere Verteilung.
k ist ganzzahlig, λ muss es nicht sein
Die Anzahl k muss 0 oder eine positive ganze Zahl sein, denn ein Bruchteil eines Ereignisses lässt sich nicht beobachten. Die Rate λ darf jede positive Dezimalzahl sein — 2,5 Ereignisse je Intervall sind völlig zulässig.
Häufig falsch verstanden
Bei λ = 3 sind genau drei Ereignisse klar der wahrscheinlichste Fall.
Genau zwei ist ebenso wahrscheinlich — beide liegen bei 0,224042. Und selbst dieser Gipfel deckt kaum mehr als ein Fünftel aller Intervalle ab.
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Ereignisse.
Es gilt für genau k. Bei λ = 3 und k = 2 sind das 0,224042, höchstens zwei wären 0,423190.
Die mittlere Rate stimmt, also passt die Poisson-Verteilung.
Sie setzt zusätzlich voraus, dass die Ereignisse unabhängig sind und die Rate im Intervall konstant bleibt. Häufen sich die Ereignisse, ist diese Annahme verletzt und die Zahl trägt nicht mehr.
Referenztabelle
| λ, k | Fall | P(X = k) |
|---|---|---|
| 3, 0 | drei je Stunde, eine ruhige Stunde | 0,049787 |
| 3, 2 | drei je Stunde, genau zwei | 0,224042 |
| 3, 3 | drei je Stunde, genau drei | 0,224042 |
| 2,5, 4 | Rate 2,5, vier Ereignisse | 0,133602 |
| 5, 3 | Rate 5, drei Ereignisse | 0,140374 |
Fragen
Wie berechne ich eine Poisson-Wahrscheinlichkeit?
Verwende P(X = k) = λᵏ × e^(−λ) ÷ k!, wobei λ die mittlere Rate und k die genaue Anzahl der Ereignisse ist. Mit λ = 3 und k = 2 sind das 9 × e⁻³ ÷ 2 = 0,224042, also rund 22,4 % Chance auf genau zwei.
Was ist die Poisson-Verteilung?
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall aus Zeit oder Raum an, wenn diese mit konstanter mittlerer Rate λ auftreten. Sie modelliert seltene, unabhängige Ereignisse wie Anrufe je Stunde, Zerfälle je Sekunde oder Tippfehler je Seite.
Warum sind Mittelwert und Varianz gleich?
Beide sind λ, und das ist eine eingebaute Eigenschaft der Verteilung, kein Zufall. Der eine Parameter legt typische Anzahl und Streuung zugleich fest: Ein größeres λ bedeutet eine höhere Anzahl und eine breitere Verteilung.
Kann die Anzahl der Ereignisse eine Dezimalzahl sein?
Nein. Die Anzahl k muss eine ganze Zahl von 0 oder mehr sein, denn ein Bruchteil eines Ereignisses lässt sich nicht beobachten. Die Rate λ darf jede positive Dezimalzahl sein — 2,5 Ereignisse je Intervall sind völlig zulässig.
Wie unterscheidet sie sich von der Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung zählt Erfolge bei einer festen Anzahl Versuche mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit, die Poisson-Verteilung zählt Ereignisse in einem kontinuierlichen Intervall mit mittlerer Rate. Die Poisson-Verteilung ist der Grenzfall der Binomialverteilung bei vielen Versuchen und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.