Fall 1
- Seite a
- 5
- Seite b
- 7
- Eingeschlossener Winkel C
- 60°
6,2450
Mit diesen Werten öffnenKosinussatz: dritte Seite berechnen
6,2450Einheiten
Ergebnis: 6,2450 EinheitenDer Kosinussatz findet die dritte Seite aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Seiten von 5 und 7 mit 60° ergeben √39, also rund 6,245. Bei genau 90° verschwindet der Kosinusterm und der Satz fällt auf Pythagoras zurück.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Seite a
- 3
- Seite b
- 4
- Eingeschlossener Winkel C
- 90°
5,0000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Seite a
- 7
- Seite b
- 9
- Eingeschlossener Winkel C
- 120°
13,8924
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
c = √(a² + b² − 2ab·cos C)
- SchrittDie beiden bekannten Seiten in einer Längeneinheit eintragen.
- SchrittDen Winkel zwischen ihnen in Grad eintragen.
- ErgebnisDie dritte Seite ablesen — sie liegt diesem Winkel gegenüber.
Was die Zahl bedeutet
Pythagoras ist der Sonderfall bei 90°
Bei C = 90° ist der Kosinus null, der Term −2ab·cos C fällt weg und übrig bleibt a² + b². Die Seiten 3 und 4 bei 90° ergeben √25 = 5, genau das Ergebnis des Satzes von Pythagoras.
Der Weg, wenn der Sinussatz nicht greift
Er ist gefragt bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel und bei drei Seiten — also dort, wo keine Seite einem bekannten Winkel gegenüberliegt. Genau so ein Paar braucht der Sinussatz aber, um überhaupt anzusetzen.
C ist der Winkel ZWISCHEN a und b
Der eingeschlossene Winkel ist der, den die beiden eingetragenen Seiten aufspannen, und heraus kommt die ihm gegenüberliegende Seite. Trägt man einen anderen Winkel des Dreiecks ein, ist die gelieferte Länge nicht Seite c.
Grad hinein, und c wächst mit dem Winkel
Für sechzig Grad also 60 eintippen; die Umrechnung ins Bogenmaß steckt in der Formel. Über 90° wird der Kosinus negativ, der Term addiert sich also statt abzuziehen: 7 und 9 ergeben bei 90° noch √130 ≈ 11,402, bei 120° dagegen √193 ≈ 13,892.
Häufig falsch verstanden
c = √(a² + b²) funktioniert bei jedem Dreieck.
Nur bei einem eingeschlossenen Winkel von genau 90°. Bei jedem anderen Winkel ist −2ab·cos C von null verschieden, und wer ihn weglässt, verfehlt c nach oben oder unten.
Ein stumpfer Winkel muss die dritte Seite verkürzen.
Er verlängert sie. Über 90° ist der Kosinus negativ, −2ab·cos C addiert sich also zur Summe: die Seiten 7 und 9 ergeben bei 90° rund 11,402 und bei 120° rund 13,892.
Für einen Winkel von 60° trägt man π/3 ein.
Eingetragen wird 60. In das Feld gehören Grad, ins Bogenmaß rechnet die Formel selbst um.
Referenztabelle
| Seiten a, b und Winkel C | Exakt | Seite c |
|---|---|---|
| 3, 4, 90 | √25 | 5,0000 |
| 5, 7, 60 | √39 | 6,2450 |
| 5, 12, 90 | √169 | 13,0000 |
| 7, 9, 120 | √193 | 13,8924 |
| 8, 8, 60 | √64 | 8,0000 |
Fragen
Wie verwende ich den Kosinussatz?
Die beiden bekannten Seiten a und b sowie den Winkel C zwischen ihnen nehmen und c = √(a² + b² − 2ab·cos C) rechnen. Die Seiten 5 und 7 mit einem 60°-Winkel ergeben √(25 + 49 − 70 × 0,5) = √39 ≈ 6,245.
Was ist der Kosinussatz?
Er ist eine Regel der ebenen Geometrie, die die drei Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines seiner Winkel verbindet. Er liefert die dritte Seite, sobald zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind — auch ohne rechten Winkel.
Wie hängt er mit dem Satz des Pythagoras zusammen?
Der Satz des Pythagoras ist der Sonderfall bei einem eingeschlossenen Winkel von 90°. Dort ist der Kosinus null, der Term −2ab·cos C verschwindet und die Formel fällt auf c = √(a² + b²) zurück. Bei jedem anderen Winkel passt der Kosinusterm das Ergebnis an.
Grad oder Bogenmaß?
Grad — für sechzig Grad also 60 eintragen. Der Winkel muss über 0° und unter 180° bleiben, weil das Dreieck an diesen Grenzen zu einer Linie zusammenfällt. Die Umrechnung ins Bogenmaß steckt in der Formel.
Warum ergibt ein weiterer Winkel eine längere dritte Seite?
Ein stumpfer Winkel über 90° hat einen negativen Kosinus, der Term −2ab·cos C addiert sich also zur Summe und verlängert c. Ein spitzer Winkel hat einen positiven Kosinus, der abgezogen wird und c verkürzt. Bei festen Seiten wächst c stetig, je weiter der Winkel von 0° auf 180° aufgeht.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.